名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

面積 $S$ は，$x=a$ から $x=b$ まで曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸に挟まれた部分の面積である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_a^b\log xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[x\log x-x]}_a^b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b\log b-b-a\log a+a\mathrm{.}}\end{array}$$一方，$T$ は横方向に見る。曲線 $y=\log x$ は $x=e^y$ と表せるので，$y=\log a$ から $y=\log b$ までの高さで，$y$ 軸から曲線までの横幅を積分すればよい。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{\log a}^{\log b}{e}^{y}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[e^y\right]}_{\log a}^{\log b}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b-a\mathrm{.}}\end{array}$$条件 $S=T$ は $b\log b-b-a\log a+a=b-a$ であり，整理すると $b\log b-2b=a\log a-2a$ である。

ここで $F(x)=x\log x-2x$ とおく。すると $F^{\mathrm{\prime }}(x)=\log x-1$ であるから，$F$ は $0<x<e$ で減少し，$x>e$ で増加する。また $x=e$ で最小値をとる。 $1<a<e$ のとき，$a$ は減少部分にあり，$F(a)>F(e)$ である。一方，$x>e$ では $F$ は連続に増加し，$x$ を大きくすると $F(x)$ もいくらでも大きくなる。したがって $x>e$ にただ1つ $b$ が存在して $F(b)=F(a)$ となる。この $b$ は $b>e>a$ を満たすので，条件に合う。 $a=e$ のとき，$F(a)$ は最小値である。$b>a$ なら $b>e$ であり，増加性から $F(b)>F(e)=F(a)$ となるので不可能である。 $a>e$ のとき，$a,b$ はともに $e$ より大きい。$F$ はこの範囲で増加するため，$b>a$ なら $F(b)>F(a)$ となり，やはり不可能である。

問題では $1<a<b$ であるから，求める $a$ の範囲は $1<a<e$ である。

$S$ は縦積分、$T$ は $x=e^y$ と見た横積分で表す。重なりは混色で示した。