名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

2点 $P(t,t^2),Q(t+1,(t+1{)}^2)$ を通る直線の傾きは $$\frac{(t+1{)}^2-t^2}{1}=2t+1$$ である。したがって直線 $PQ$ は $y-t^2=(2t+1)(x-t)$ すなわち $y=(2t+1)x-t(t+1)$ である。

固定した $x$ に対し、右辺を $t$ の関数と見ると $y=-t^2+(2x-1)t+x$ である。これは下向きに開く2次式で、軸は $t=x-\frac{1}{2}$ である。

線分 $PQ$ 上の点であるためには $t\leqq x\leqq t+1$ であり、さらに $-1\leqq t\leqq 0$ である。通過領域の $x$ 座標の範囲は $-1\leqq x\leqq 1$ である。

縦に切って考えると、下側の境界は端点 $P,Q$ が動く放物線 $y=x^2$ である。上側の境界は、上の2次式の最大値で与えられる。 $-1\leqq x<-1\mathrm{/}2$ のとき、軸 $x-1\mathrm{/}2$ は許される $t$ の範囲の左側にあるので、最大値は端でとり $y=-x$ となる。 $-1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ のとき、軸が許される範囲に入り、最大値は $y=x^2+\frac{1}{4}$ となる。 $1\mathrm{/}2<x\leqq 1$ のとき、軸は許される範囲の右側にあり、最大値は端でとり $y=x$ となる。

したがって通過領域は、下側を $y=x^2$、上側を$$\{\begin{array}{ll}y=-x& (-1\leqq x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ y=x& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<x\leqq 1)\end{array}$$で囲まれる図形である。

面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{-1\mathrm{/}2}(-x-x^2)dx+{\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\frac{1}{4}dx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^1(x-x^2)dx\mathrm{.}}\end{array}$$左右の積分は等しく、$${\int }_{1\mathrm{/}2}^1(x-x^2)dx=\frac{1}{12}$$ である。また中央の積分は $${\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}$$ である。よって $$S=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$$ である。

動く線分を含む直線族の包絡線を求める。包絡線が現れる区間、パラメータ端の2直線、線分端点の放物線を組み合わせて通過領域を確定し、対称性を使って面積を積分する。

点 $P,Q$ を通る直線は$$y=(2t+1)x-t(t+1)$$である。これを$$F(x,y,t)=y+t^2-(2x-1)t-x=0$$と書く。包絡線は $t$ に関する頂点条件$$2t-(2x-1)=0$$から $t=x-1\mathrm{/}2$ であり、代入すると$$y=x^2+\frac{1}{4}$$を得る。$-1\leqq t\leqq 0$ より、この曲線が境界になるのは$$-\frac{1}{2}\leqq x\leqq \frac{1}{2}$$である。

その外側の上端は、$t=-1$ から得る $y=-x$ と、$t=0$ から得る $y=x$ である。線分の下端は、端点 $P,Q$ が描く放物線 $y=x^2$ である。よって領域の上側境界は$$\{\begin{array}{ll}y=-x& (-1\leqq x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ y=x& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<x\leqq 1),\end{array}$$下側境界は $y=x^2$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_{1\mathrm{/}2}^1(x-x^2)dx+{\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\frac{1}{4}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mn\; mathvariant="bold">12</mn></mfrac>}\mathrm{.}}\end{array}$$領域は解法1の図の通りである。