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名古屋大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

nを2以上の整数とする。
1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある。
ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする。
このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，
書かれた整数を調べてからもとに戻す。
この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の
最小値をX，最大値をYとする。
次の問に答えよ。
ただし，jとkは正の整数で，
j+k≦nを満たすとする。
また，sはn−1以下の正の整数とする。

(1) X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ。

(2) X=jかつY=j+kとなる確率を求めよ。

(3) Y−X=sとなる確率をP(s)とする。P(s)を求めよ。

(4) nが偶数のとき，P(s)を最大にするsを求めよ。

難易度5/ 10計算量4/ 10目安14分

確率、場合の数　数え上げ、場合分け、範囲評価

方針

復元抽出なので、3回の結果はすべて n3 通りで同様に確からしい。(1)は最小値と最大値の条件を「3回とも指定区間に入る」と言い換える。(2)はその区間内に入ったうえで、左端 j と右端 j+k が少なくとも1回ずつ出る条件を包除原理で数える。(3)は幅 s の区間の左端を j として動かし、(2)の結果を足し合わせる。(4)は P(s) の最大化を s(n−s) の最大化に帰着し、n が偶数なので頂点 s=n/2 が整数として許されることを確認する。

解答

(1)
3回の試行の結果を順に Z1, Z2, Z3 とする。復元抽出なので、全事象は n3 通りで同様に確からしい。

条件 X≧j かつ Y≦j+k は、3回の結果がすべて j, j+1,…, j+k の中に入ることと同値である。この区間には k+1 個の整数があるので、条件を満たす取り出し方は (k+1)3 通りである。よって確率は (k+1n)3 である。

(2) X=j かつ Y=j+k となるには、3回の結果がすべて j, j+1,…, j+k に入り、さらに左端 j と右端 j+k が少なくとも1回ずつ出ればよい。

区間内だけから選ぶ取り出し方は (k+1)3 通りである。このうち j が出ないものは、残り k 個から3回選ぶので k3 通りである。同様に j+k が出ないものも k3 通りである。両端とも出ないものは、中央の k−1 個から3回選ぶので (k−1)3 通りである。

包除原理より、求める場合の数は (k+1)3−2k3+(k−1)3 であり、展開すると (k+1)3−2k3+(k−1)3=6k である。したがって確率は 6kn3 である。

(3) Y−X=s となるとき、最小値を j とすれば最大値は j+s である。取りうる j は 1≦j≦n−s を満たす整数であり、全部で n−s 通りある。

固定した j については、(2)で k=s とした場合に等しいので、その確率は 6sn3 である。これらは最小値 X の値が異なるため互いに重ならない。したがって P(s)=(n−s)6sn3 であり、P(s)=6s(n−s)n3 である。

(4) n は偶数である。P(s) を最大にするには、定数 6/n3 を除いて s(n−s) を最大にすればよい。これは s(n−s)=−(s−n2)2+n24 であるから、s=n/2 のとき最大になる。n は偶数なので n/2 は整数であり、また n≧2 だから 1≦n2≦n−1 を満たす。よって s=n2 である。

別解

解法2（出現値の種類による直接計数）

方針

(2) で包除原理を使わず、3回の結果に両端だけが現れる場合と、両端に加えて内部の値が1つ現れる場合に分ける。後者では3回の結果が相異なるため並べ方は6通りである。この直接計数を幅 s の区間へ適用して (3) を求め、平方完成で (4) を処理する。

解答

(1)
X≧j かつ Y≦j+k であることは、3回の結果がすべてj,j+1,…,j+kの k+1 個の値から選ばれることと同値である。復元抽出なので、求める確率は(k+1)3n3である。

(2)
X=j, Y=j+k となる結果を、実際に現れる値の種類で分けて数える。

両端 j, j+k だけが現れる場合は、各回に2通りの選択がある
23 通りから、3回とも同じ端点になる2通りを除けばよい。したがって23−2=6通りである。

両端以外の値も現れる場合、試行は3回しかないので、現れる値はj,q,j+kの3種類であり、q は j+1,…,j+k−1 の k−1 通りである。
各 q について3つの相異なる値の並べ方は3⋅2⋅1=6通りだから、この場合は 6(k−1) 通りとなる。

以上より条件を満たす順序つき結果は6+6(k−1)=6k通りであり、確率は6kn3である。

(3)
Y−X=s のとき、X=j とおけば Y=j+s である。左端 j は1,2,…,n−sの n−s 通りをとり、各 j に対する順序つき結果は (2) で
k=s とした 6s 通りである。したがってP(s)=6s(n−s)n3.(4)s(n−s)=−(s−n2)2+n24である。n は偶数なので n/2 は許される整数であり、
1≦n/2≦n−1 も満たす。したがって P(s) を最大にするのはs=n2である。

総評

難度5、目安時間14分。復元抽出なので全事象を n3 として順序つきで数えるのが基本である。(2)では端点 j と j+k を少なくとも1回ずつ含めるため、包除原理の (k+1)3−2k3+(k−1)3 を丁寧に説明したい。(3)は左端 j が n−s 通りあること、(4)は n が偶数だから頂点 n/2 が許されることが採点上の確認点である。

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出典: 名古屋大学 2012年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。