名古屋大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
初めは袋Aに赤玉2個，袋Bに白玉2個が入っている。1回目の操作では，まず袋Bから白玉を1個取り出して袋Aに入れるしかない。この時点で袋Aには赤玉2個，白玉1個が入っている。

次に袋Aから袋Bへ移す玉が赤玉である確率は$2\mathrm{/}3$，白玉である確率は$1\mathrm{/}3$である。赤玉を移せば袋Bの赤玉は1個，白玉を移せば袋Bの赤玉は0個である。したがって $$P_1(0)=\frac{1}{3},P_1(1)=\frac{2}{3},P_1(2)=0$$ である。

(2)
袋Bに赤玉が$k$個入っている状態を考える。このとき袋Bには赤玉$k$個，白玉$2-k$個があり，袋Aには赤玉$2-k$個，白玉$k$個がある。

まず袋Bから赤玉を取り出す確率は$k\mathrm{/}2$である。この場合，袋Bの赤玉は一時的に$k-1$個となり，袋Aには赤玉$3-k$個，白玉$k$個が入る。続いて袋Aから白玉を戻せば袋Bの赤玉は$k-1$個，赤玉を戻せば$k$個になる。したがって赤玉を先に取り出した場合の寄与は$$k-1\text{へ }\frac{k}{2}\cdot \frac{k}{3}=\frac{k^2}{6},k\text{へ }\frac{k}{2}\cdot \frac{3-k}{3}$$である。

一方，袋Bから白玉を取り出す確率は$(2-k)\mathrm{/}2$である。この場合，袋Aには赤玉$2-k$個，白玉$k+1$個が入る。続いて赤玉を戻せば袋Bの赤玉は$k+1$個，白玉を戻せば$k$個になる。よって白玉を先に取り出した場合の寄与は$$k+1\text{へ }\frac{2-k}{2}\cdot \frac{2-k}{3}=\frac{(2-k{)}^2}{6},k\text{へ }\frac{2-k}{2}\cdot \frac{k+1}{3}$$である。

以上より，状態$k$から$k-1,k,k+1$へ移る確率はそれぞれ$$\frac{k^2}{6},\frac{k(3-k)+(2-k)(k+1)}{6}=\frac{-k^2+2k+1}{3},\frac{(2-k{)}^2}{6}$$である。これを$k=0,1,2$について表にすると$$\begin{array}{cccc}& 0& 1& 2\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 0\\ 1& \frac{1}{6}& \frac{2}{3}& \frac{1}{6}\\ 2& 0& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}$$となる。行は現在の状態，列は次の状態を表す。

この表から，どの状態から出発しても次に状態1になる確率は$2\mathrm{/}3$である。したがって$n\geqq 1$について $P_n(1)=\frac{2}{3}$ である。

次に状態0と状態2の差を見る。遷移表より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{n+1}(0)}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{P}_n(0)+\frac{1}{6}{P}_n(1),}\\ {\displaystyle P_{n+1}(2)}& {\displaystyle =\frac{1}{6}{P}_n(1)+\frac{1}{3}{P}_n(2)}\end{array}$$であるから，差をとると $$P_{n+1}(0)-P_{n+1}(2)=\frac{1}{3}\{P_n(0)-P_n(2)\}$$ となる。(1)より $P_1(0)-P_1(2)=\frac{1}{3}$ なので，$$P_n(0)-P_n(2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$ である。

また確率の総和は1で，$P_n(1)=2\mathrm{/}3$だから $P_n(0)+P_n(2)=\frac{1}{3}$ である。和と差を用いて$$P_n(0)=\frac{1}{2}\{\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\},P_n(2)=\frac{1}{2}\{\frac{1}{3}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\}$$を得る。

したがってである。

3状態の遷移表を作った後，状態0と2の差ではなく，$u_n=P_n(0)$だけの1次漸化式を作る。$P_n(1)=2\mathrm{/}3$が毎回一定であることを先に使えば，定常値$1\mathrm{/}6$からのずれが毎回$1\mathrm{/}3$倍になる。最後に確率の総和から$P_n(2)$を得る。

(1)
最初の操作でBからAへ移るのは白玉である。その後Aには赤2個，白1個があるから，Bへ赤を戻す確率は$2\mathrm{/}3$，白を戻す確率は$1\mathrm{/}3$である。よって$$P_1(0)=\frac{1}{3},P_1(1)=\frac{2}{3},P_1(2)=0.$$(2)
1回の操作による遷移確率は$$\begin{array}{cccc}& 0& 1& 2\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 0\\ 1& \frac{1}{6}& \frac{2}{3}& \frac{1}{6}\\ 2& 0& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}$$である。どの行でも状態1へ移る確率が$2\mathrm{/}3$なので，すべての$n\geqq 1$について$$P_n(1)=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$ここで$u_n=P_n(0)$とおく。遷移表より$$u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+\frac{1}{6}{P}_n(1)=\frac{1}{3}{u}_n+\frac{1}{9}\mathrm{.}$$定常値$1\mathrm{/}6$を引けば$$u_{n+1}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}(u_n-\frac{1}{6})\mathrm{.}$$初期値$u_1=1\mathrm{/}3$から$$u_n-\frac{1}{6}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})=\frac{1}{2\cdot 3^n}\mathrm{.}$$したがって$$P_n(0)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2\cdot 3^n}=\frac{1}{2}\{\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\}\mathrm{.}$$また$P_n(0)+P_n(2)=1\mathrm{/}3$なので$$P_n(2)=\frac{1}{6}-\frac{1}{2\cdot 3^n}=\frac{1}{2}\{\frac{1}{3}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\}\mathrm{.}$$以上で3つの確率が求まった。