名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
$u=\sqrt{x}$とおくと，$x>0$より$u>0$であり，$f(x)=u+\frac{2}{u}$ である。相加相乗平均より $$u+\frac{2}{u}\geqq 2\sqrt{u\cdot \frac{2}{u}}=2\sqrt{2}$$ である。等号は $u=\frac{2}{u}$ すなわち $u^2=2$ のときに成り立つ。したがって$x=u^2=2$で極小値 $2\sqrt{2}$ をとる。$x\to 0+0$または$x\to \mathrm{\infty }$で$f(x)\to \mathrm{\infty }$となるので，極大値はない。

(2)
接点の$x$座標を$s$とする。$s>0$である。まず $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{x-2}{2x\sqrt{x}}$$ である。$s=2$のとき接線は水平で，$y=2\sqrt{2}$となり，$x$軸上の点を通らない。したがって$s\mathrm{\ne }2$として考える。

接線の方程式は $y=f(s)+f^{\mathrm{\prime }}(s)(x-s)$ である。これが$x$軸と交わる点の$x$座標を$t$とすると，$y=0$を代入して $$t=s-\frac{f(s)}{f^{\mathrm{\prime }}(s)}$$ である。ここで$$f(s)=\sqrt{s}+\frac{2}{\sqrt{s}}=\frac{s+2}{\sqrt{s}},f^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{s-2}{2s\sqrt{s}}$$だから$$t=s-\frac{\frac{s+2}{\sqrt{s}}}{\frac{s-2}{2s\sqrt{s}}}=s-\frac{2s(s+2)}{s-2}=-\frac{s(s+6)}{s-2}$$である。そこで $$\varphi (s)=-\frac{s(s+6)}{s-2}$$ とおく。

微分すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(s)=-\frac{(s-6)(s+2)}{(s-2{)}^2}$$ である。$0<s<2$では${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(s)>0$で，$$\underset{s\to 0+}{\lim }\varphi (s)=0,\underset{s\to 2-}{\lim }\varphi (s)=+\mathrm{\infty }$$ だから，この区間の値域は$(0,\mathrm{\infty })$である。よって$t>0$なら接線は1本である。

一方，$s>2$では，$2<s<6$で${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(s)>0$，$s>6$で${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(s)<0$である。また$$\underset{s\to 2+}{\lim }\varphi (s)=-\mathrm{\infty },\varphi (6)=-18,\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (s)=-\mathrm{\infty }$$である。したがって$s>2$側では，$t<-18$のとき2本，$t=-18$のとき1本，$-18<t<0$のとき0本の接線が引ける。

以上より，ちょうど2本の接線を引くことができるのは $t<-18$ のときである。

(3)
(2)より，ちょうど2本の接線があるとき，2つの接点の$x$座標$\alpha ,\beta$はいずれも2より大きい。したがって $$\varphi (\alpha )=\varphi (\beta )$$ を満たす。$s>2$では $$\frac{s(s+6)}{s-2}=s+8+\frac{16}{s-2}$$ であるから，$\varphi (\alpha )=\varphi (\beta )$は $$\alpha +8+\frac{16}{\alpha -2}=\beta +8+\frac{16}{\beta -2}$$ と同値である。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$なので整理すると $(\alpha -2)(\beta -2)=16$ を得る。

$\alpha ,\beta$が整数で$\alpha <\beta$，かつ$\alpha ,\beta >2$であるから，$\alpha -2$と$\beta -2$は正の整数で，積が16である。正の約数の組を調べると $$(\alpha -2,\beta -2)=(1,16),(2,8)$$ である。したがって $$(\alpha ,\beta )=(3,18),(4,10)$$ である。

$s>2$における$x$軸切片$t=\varphi (s)$。最大値$-18$より下で接点が2つ生じる。

接線が点$P(t,0)$を通る条件を，接点の$x$座標$s$に関する二次方程式へ変形する。異なる2本の接線の条件を『異なる2正根』と読み替え，判別式・解の和・積で$t$の範囲を決める。整数接点はVietaの関係から因数分解して列挙する。

(1)
極値については解法1と同じである。

(2)
接点の$x$座標を$s$とすると，主解と同様に$$t=-\frac{s(s+6)}{s-2}$$である。これを$s$について整理すると$$\begin{array}{cccc}& s^2+(t+6)s-2t=0& & \text{(*)}\end{array}$$となる。点$P(t,0)$から異なる2本の接線が引けることは，(*)が異なる2個の正の実数解をもつことと同値である。

(*)の判別式，2解の和，積はそれぞれ$$D=(t+6{)}^2+8t=(t+18)(t+2),s_1+s_2=-(t+6),s_1{s}_2=-2t$$である。異なる2正根のためには$D>0$，$-(t+6)>0$，$-2t>0$が必要十分である。これらを同時に満たすのは$$t<-18$$である。

(3)
$\alpha ,\beta$は(*)の2解だから$$\alpha +\beta =-(t+6),\alpha \beta =-2t$$である。$t=-\alpha \beta \mathrm{/}2$を消去すると$$2\alpha +2\beta =\alpha \beta -12,(\alpha -2)(\beta -2)=16$$を得る。$2<\alpha <\beta$は整数なので，正の因数対は$$(\alpha -2,\beta -2)=(1,16),(2,8)$$だけである。よって$$(\alpha ,\beta )=(3,18),(4,10)$$となる。