名古屋大学 2024年度理系数学第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ $(x > 0)$ に対して， $y = f (x)$ のグラフを $C$ とする。

(1) $f (x)$ の極値を求めよ。

(2) $x$ 軸上の点 $P (t, 0)$ から $C$ にちょうど2本の接線を引くことができるとする。そのような実数 $t$ の値の範囲を求めよ。

(3) (2)において， $C$ の2つの接点の $x$ 座標を $α, β$ $(α < β)$ とする。 $α, β$ がともに整数であるような組 $(α, β)$ をすべて求めよ。

出典：名古屋大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

(1)は $u = x$ とおいて $u + 2/ u$ の最小値を求める。(2)は接点の $x$ 座標を $s$ として，接線の $x$ 軸との交点 $t = s - f (s) / f^{'} (s)$ を計算し，切片関数 $ϕ (s)$ の値域と増減から接線の本数を判定する。 $s = 2$ では接線が水平で $x$ 軸と交わらないことも確認する。(3)では，ちょうど2本の接線があるとき接点はどちらも $s > 2$ 側にあるので，同じ $t$ を与える整数 $α, β$ について $ϕ (α) = ϕ (β)$ を解き， $(α - 2) (β - 2) = 16$ へ帰着する。

解法2（接点方程式による別解）

接線が点 $P (t, 0)$ を通る条件を，接点の $x$ 座標 $s$ に関する二次方程式へ変形する。異なる2本の接線の条件を『異なる2正根』と読み替え，判別式・解の和・積で $t$ の範囲を決める。整数接点はVietaの関係から因数分解して列挙する。

解答

解法1

(1)

$u = x$ とおくと， $x > 0$ より $u > 0$ であり， $f (x) = u + \frac{2}{u}$ である。相加相乗平均より $u + \frac{2}{u} ≧ 2 u \cdot \frac{2}{u} = 22$ である。等号は $u = \frac{2}{u}$ すなわち $u^{2} = 2$ のときに成り立つ。したがって $x = u^{2} = 2$ で極小値 $22$ をとる。 $x \to 0 + 0$ または $x \to \infty$ で $f (x) \to \infty$ となるので，極大値はない。

(2)

接点の $x$ 座標を $s$ とする。 $s > 0$ である。まず $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x x} = \frac{x - 2}{2 x x}$ である。 $s = 2$ のとき接線は水平で， $y = 22$ となり， $x$ 軸上の点を通らない。したがって $s \neq = 2$ として考える。

接線の方程式は $y = f (s) + f^{'} (s) (x - s)$ である。これが $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $t$ とすると， $y = 0$ を代入して $t = s - \frac{f ( s )}{f ^{'} ( s )}$ である。ここで

f (s) = s + \frac{2}{s} = \frac{s + 2}{s}, f^{'} (s) = \frac{s - 2}{2 s s}

だから

t = s - \frac{\frac{s + 2}{s}}{\frac{s - 2}{2 s s}} = s - \frac{2 s ( s + 2 )}{s - 2} = - \frac{s ( s + 6 )}{s - 2}

である。そこで $ϕ (s) = - \frac{s ( s + 6 )}{s - 2}$ とおく。

微分すると $ϕ^{'} (s) = - \frac{( s - 6 ) ( s + 2 )}{( s - 2 ) ^{2}}$ である。 $0 < s < 2$ では $ϕ^{'} (s) > 0$ で， $lim_{s \to 0 +} ϕ (s) = 0, lim_{s \to 2 -} ϕ (s) = + \infty$ だから，この区間の値域は $(0, \infty)$ である。よって $t > 0$ なら接線は1本である。

一方， $s > 2$ では， $2 < s < 6$ で $ϕ^{'} (s) > 0$ ， $s > 6$ で $ϕ^{'} (s) < 0$ である。また

s \to 2 + lim ϕ (s) = - \infty, ϕ (6) = - 18, s \to \infty lim ϕ (s) = - \infty

である。したがって $s > 2$ 側では， $t < - 18$ のとき2本， $t = - 18$ のとき1本， $- 18 < t < 0$ のとき0本の接線が引ける。

以上より，ちょうど2本の接線を引くことができるのは $t < - 18$ のときである。

(3)

(2)より，ちょうど2本の接線があるとき，2つの接点の $x$ 座標 $α, β$ はいずれも2より大きい。したがって $ϕ (α) = ϕ (β)$ を満たす。 $s > 2$ では $\frac{s ( s + 6 )}{s - 2} = s + 8 + \frac{16}{s - 2}$ であるから， $ϕ (α) = ϕ (β)$ は $α + 8 + \frac{16}{α - 2} = β + 8 + \frac{16}{β - 2}$ と同値である。 $α \neq = β$ なので整理すると $(α - 2) (β - 2) = 16$ を得る。

$α, β$ が整数で $α < β$ ，かつ $α, β > 2$ であるから， $α - 2$ と $β - 2$ は正の整数で，積が16である。正の約数の組を調べると $(α - 2, β - 2) = (1, 16), (2, 8)$ である。したがって $(α, β) = (3, 18), (4, 10)$ である。

{ $s > 2$ における $x$ 軸切片 $t = ϕ (s)$ 。最大値 $- 18$ より下で接点が2つ生じる。}

解法2（接点方程式による別解）

(1)

極値については解法1と同じである。

(2)

接点の $x$ 座標を $s$ とすると，主解と同様に

t = - \frac{s ( s + 6 )}{s - 2}

である。これを $s$ について整理すると

s^{2} + (t + 6) s - 2 t = 0 (*)

となる。点 $P (t, 0)$ から異なる2本の接線が引けることは，(*)が異なる2個の正の実数解をもつことと同値である。

(*)の判別式，2解の和，積はそれぞれ

D = (t + 6)^{2} + 8 t = (t + 18) (t + 2), s_{1} + s_{2} = - (t + 6), s_{1} s_{2} = - 2 t

である。異なる2正根のためには $D > 0$ ， $- (t + 6) > 0$ ， $- 2 t > 0$ が必要十分である。これらを同時に満たすのは

t < - 18

である。

(3)

$α, β$ は(*)の2解だから

α + β = - (t + 6), α β = - 2 t

である。 $t = - α β /2$ を消去すると

2 α + 2 β = α β - 12, (α - 2) (β - 2) = 16

を得る。 $2 < α < β$ は整数なので，正の因数対は

(α - 2, β - 2) = (1, 16), (2, 8)

だけである。よって

(α, β) = (3, 18), (4, 10)

となる。

名古屋大学 2024年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（接点方程式による別解）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（接点方程式による別解）

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2024年度
理系数学第1問