名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$P(z)$を因数分解する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(z)}& {\displaystyle =z^3-3z^2+(c+2)z-c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(z-1)(z^2-2z+c)}\end{array}$$である。$c>1$なので，$z^2-2z+c=0$ の解は $$z=1\pm \sqrt{1-c}=1\pm i\sqrt{c-1}$$ である。したがって$P(z)=0$の解は $$z=1,z=1+i\sqrt{c-1},z=1-i\sqrt{c-1}$$ である。複素数平面上では，実部がすべて1で，虚部が $0,\sqrt{c-1},-\sqrt{c-1}$ である3点に対応する。

(2)
$\alpha =\frac{1-i}{\sqrt{2}}$であるから，${\alpha }^4=-1$，${\alpha }^8=1$である。よって $$-{\alpha }^7={\alpha }^3,{\alpha }^6=-{\alpha }^2$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(\alpha z)}& {\displaystyle ={\alpha }^3{z}^3-3{\alpha }^2{z}^2+(c+2)\alpha z-c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\alpha }^7{z}^3+3{\alpha }^6{z}^2+(c+2)\alpha z-c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =Q(z)}\end{array}$$である。

よって$Q(z)=0$は$P(\alpha z)=0$と同値である。$P(w)=0$の解を$w$とすれば $$\alpha z=w,z={\alpha }^{-1}w=\frac{1+i}{\sqrt{2}}w$$ である。

$s=\sqrt{c-1}$とおく。$P(w)=0$の解は$w=1,1+is,1-is$である。対応する$z$の実部はそれぞれ $\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1-s}{\sqrt{2}},\frac{1+s}{\sqrt{2}}$ である。$s>0$なので，最大は$w=1-is$に対応する場合である。したがって求める解は $$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}(1-is)=\frac{1+s}{\sqrt{2}}+i\frac{1-s}{\sqrt{2}}$$ である。すなわち $$z=\frac{1+\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}+i\frac{1-\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}$$ である。

(3)
共通解$\beta$があるとする。$P(\beta )=0$かつ$Q(\beta )=0$であり，$Q(\beta )=P(\alpha \beta )$だから，$\beta ,\alpha \beta$ はいずれも$P(z)=0$の解である。

$P(z)=0$の解は $$1,1+is,1-is(s=\sqrt{c-1}>0)$$ である。$\alpha$は絶対値1の複素数なので，掛けても絶対値は変わらない。解$1$の絶対値は1であり，$1\pm is$の絶対値は$\sqrt{1+s^2}>1$である。したがって$\beta =1$は不可能である。

よって$\beta$は$1+is$または$1-is$であり，$\alpha \beta$はもう一方の共役な解でなければならない。まず $$\beta =1+is,\alpha \beta =1-is$$ の場合を調べる。左辺を計算すると$$\alpha (1+is)=\frac{1-i}{\sqrt{2}}(1+is)=\frac{1+s}{\sqrt{2}}+i\frac{s-1}{\sqrt{2}}$$である。これが$1-is$に等しいので $$\frac{1+s}{\sqrt{2}}=1,\frac{s-1}{\sqrt{2}}=-s$$ を得る。どちらからも $s=\sqrt{2}-1$ が従う。

逆に$\beta =1-is$として$\alpha \beta =1+is$となる場合を調べると，実部または虚部の比較から正の$s$は得られない。したがって上の場合だけである。

よって $$c=1+s^2=1+(\sqrt{2}-1{)}^2=4-2\sqrt{2}$$ であり，$\beta =1+i(\sqrt{2}-1)$ である。したがって $$c=4-2\sqrt{2},\beta =1+i(\sqrt{2}-1)$$ である。

図は$s=\sqrt{c-1}=1.2$の配置例。青い3点を反時計回りに$\pi \mathrm{/}4$回転すると橙色の3点になる。