Evolton
方針
と因数分解し，， とおく。 から は正の整数で ，さらに ， が整数になるため は同じ偶奇でなければならない。(1)は因数対を列挙する。(2)は の因数対がともに偶数に限られることを使い，，， に帰着する。
解答
準備 である。そこで とおく。条件 より である。今回 の場合だけを扱うので，実際には である。また であり，逆に が正の整数で ， を満たすとき となる。したがって が整数になるためには， と が同じ偶奇であることが必要十分である。
(1) のとき，正の因数対 ， は である。このうち同じ偶奇であるものは である。よって である。 のとき，正の因数対は であり，どちらも奇数同士である。したがって である。 のとき，正の因数対は である。どちらも一方が奇数，他方が偶数なので， が整数にならない。よって解は存在しない。
以上よりである。
(2) とする。ただし は3以上の素数なので奇数である。準備と同じく とおくと であり， は同じ偶奇でなければならない。
積 は偶数であり， は奇数である。 が同じ偶奇なら，奇数同士では積が奇数になってしまう。したがって はともに偶数である。そこで とおくと， である。 は素数だから， の正の因数は だけである。よって と表せる。 より すなわち である。
このとき である。 なら も満たす。したがって求める組はである。
総評
難度4、計算量4、想定時間10分から12分。公式の出題意図どおり、整数の性質の考察と論証が中心である。 により、解と正の因数対 を対応させる。この対応では が同じ偶奇であることが必要十分で、(1) の は因数対があっても偶奇が合わない。(2) では が奇素数なので はともに偶数となり、 の全因数対を で過不足なく列挙できる。