名古屋大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
まず $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ である。条件(＊)より，$a,b,c$ のどの2つも共通の素因数を持たない。したがって，$2^3$，$3$，$5$ のそれぞれは，$a,b,c$ のうち1つだけに丸ごと入る。

つまり，3つの数 $8,3,5$ を，$a,b,c$ の3つの場所へ重複なく割り振ることを考えればよい。大小順 $a\leqq b\leqq c$ で並べた組を列挙する。

3つの因子をすべて同じ数に入れると $(1,1,120)$ である。2つを同じ数に入れ，残り1つを別の数に入れると $(1,3,40),(1,5,24),(1,8,15)$ である。3つをすべて別々に入れると $(3,5,8)$ である。

したがって求める組は $(1,1,120),(1,3,40),(1,5,24),(1,8,15),(3,5,8)$ である。

(2)
順序を区別して数える。$2^3$，$3$，$5$ のそれぞれについて，入れる先は $a,b,c$ の3通りである。各素数ブロックの割り振りは独立であり，そのように割り振れば必ず条件(＊)を満たす。したがって個数は $3^3=27$ である。

(3) $N!$ に現れる素数は，問題文より $m$ 個である。それらを $p_1,p_2,\dots ,p_m$ とし，$N!$ における $p_i$ の指数を $e_i$ とする。このとき $$N!=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_m^{e_m}$$ である。

条件(＊)を満たすためには，各 $p_i^{e_i}$ を $a,b,c$ のうちただ1つに入れなければならない。逆に，各 $p_i^{e_i}$ を $a,b,c$ のどれか1つへ割り振れば，異なる2つの数が同じ素因数を共有することはないので，条件(＊)を満たす。

各素数について割り振り先は3通りで，素数ごとに独立だから，求める個数は $3^m$ である。