岡山大学 2016年度 前期 数学I・II・III・A・B理系数学 第4問

(1)
${\rho }^2=s^2+t^2$とおく。$P\mathrm{\ne }O$より$\rho >0$である。直線$AP$上の点は$$(\lambda s,\lambda t,1-\lambda )$$と表せる。球面$S$との交点条件は$${\lambda }^2(s^2+t^2)+(1-\lambda {)}^2=1$$であり，$A$と異なる交点では$$\lambda =\frac{2}{{\rho }^2+1}$$である。よって$$Q=(\frac{2s}{{\rho }^2+1},\frac{2t}{{\rho }^2+1},\frac{{\rho }^2-1}{{\rho }^2+1})$$である。

直線$BQ$上の点を$B+\mu (Q-B)$と表すと，$z=0$となるのは$$\mu =\frac{{\rho }^2+1}{2{\rho }^2}$$のときである。したがって$$R=(\frac{s}{{\rho }^2},\frac{t}{{\rho }^2},0)$$である。ゆえに$$OR=\frac{1}{\rho }$$となり，$$OP\cdot OR=1$$である。

(2)
(1)より$$u=\frac{s}{s^2+t^2},v=\frac{t}{s^2+t^2}$$である。したがって$$u^2+v^2=\frac{1}{s^2+t^2}$$であり，$$s=\frac{u}{u^2+v^2}$$である。

(3)
直線$l$は原点を通らないので，ある実数$a,b$を用いて$$ax+by=1$$と表せる。ただし$a^2+b^2\mathrm{\ne }0$である。点$P(s,t,0)$がこの直線上にあるから$$as+bt=1$$である。(1)から同様に$$s=\frac{u}{u^2+v^2},t=\frac{v}{u^2+v^2}$$であるため，代入して$$\frac{au+bv}{u^2+v^2}=1$$を得る。すなわち$$u^2+v^2=au+bv$$である。平方完成すると$${(u-\frac{a}{2})}^2+{(v-\frac{b}{2})}^2=\frac{a^2+b^2}{4}$$となる。これは同一円周を表すので，対応する点$R$は$xy$平面内の同一円周上にある。

(1) $P$ を $r$ と偏角 $\theta$ で表し，$z$ 軸とその方向を含む断面内で $R$ の半径が $1\mathrm{/}r$ になることを示す。(2) は極座標の成分から $s$ を逆算する。(3) は原点を通らない直線を $ax+by=1$ と表し，円の方程式へ変形する。

(1) $r=OP>0$ とし，$$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)$$と表す。$z$ 軸と偏角 $\theta$ の方向を含む平面で見ると，球面 $S$ は単位円であり，点は$$A=(0,1),B=(0,-1),P=(r,0)$$と表される。直線 $AP$ と単位円の $A$ でない交点は$$Q=(\frac{2r}{r^2+1},\frac{r^2-1}{r^2+1})\mathrm{.}$$さらに $B,Q,R$ が一直線上にあり，$R$ の高さは0なので，その水平方向の座標は$$\frac{2r}{r^2+1}\cdot \frac{r^2+1}{2r^2}=\frac{1}{r}\mathrm{.}$$よって3次元の座標へ戻すと$$R=(\frac{\cos \theta }{r},\frac{\sin \theta }{r},0)\mathrm{.}$$したがって $OR=1\mathrm{/}r$ であり，$$OP\cdot OR=1.$$(2) 上式から$$u=\frac{\cos \theta }{r},v=\frac{\sin \theta }{r},u^2+v^2=\frac{1}{r^2}\mathrm{.}$$一方，$s=r\cos \theta$ だから$$s=\frac{u}{u^2+v^2}\mathrm{.}$$(3) $l$ は原点を通らないから，ある実数 $a,b$ により$$l:ax+by=1(a^2+b^2\mathrm{\ne }0)$$と表せる。(1) と同様に $t=v\mathrm{/}(u^2+v^2)$ も成り立つので，$as+bt=1$ へ代入して$$u^2+v^2=au+bv$$を得る。平方完成すると$${(u-\frac{a}{2})}^2+{(v-\frac{b}{2})}^2=\frac{a^2+b^2}{4}\mathrm{.}$$右辺は正であり，これは $l$ によって一意に定まる円周である。