岡山大学 2017年度 前期理系数学 第3問

(1)
点$Q$は辺$AC$上にあるから，$0\leqq \lambda \leqq 1$を用いて$$Q=(1-\lambda )A+\lambda C$$と表せる。すなわち$$Q=(1-\lambda ,\lambda ,\sqrt{2}\lambda )$$である。$Q$は$z=t$上にあるので$\sqrt{2}\lambda =t$，したがって$$\lambda =\frac{t}{\sqrt{2}}$$である。よって$$Q=(1-\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}},t)$$である。ただし$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$である。

(2)
$z=t$で四面体を切る。ただし$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$とし，$$\lambda =\frac{t}{\sqrt{2}}$$とおく。この断面は，辺$AC,AD,BC,BD$との交点を頂点とする長方形であり，$xy$平面に平行に見れば$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1-\lambda ,\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq \lambda$$で表される。

この長方形は原点を含むので，これを$z$軸のまわりに回転してできる断面は円板である。その半径は長方形の頂点までの距離$$\sqrt{(1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2}$$である。したがって高さ$t$における円板の面積は$$\pi \{(1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2\}$$である。

$t=\sqrt{2}\lambda$より，求める体積$V$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{2}}\pi \{(1-t\mathrm{/}\sqrt{2}{)}^2+(t\mathrm{/}\sqrt{2}{)}^2\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \sqrt{2}{\int }_0^1\{(1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2\}d\lambda }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \sqrt{2}{\int }_0^1(1-2\lambda +2{\lambda }^2)d\lambda }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\sqrt{2}\pi }{3}}\end{array}$$である。

辺$AC$上の点を高さのパラメータにし，断面の最遠点を凸関数の最大として頂点に絞る。回転後の円板半径を直接積分する。

(1)
辺$AC$を$0\leqq s\leqq 1$で$$(1-s)A+sC=(1-s,s,\sqrt{2}s)$$と表す。$z=t$より$s=t\mathrm{/}\sqrt{2}$だから$$Q(1-\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}},t)$$である。

(2)
高さ$z=\sqrt{2}s$の断面は$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1-s,\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq s$$という長方形である。原点からの距離の二乗$x^2+y^2$はこの長方形の頂点で最大となり，最大値は$$(1-s{)}^2+s^2$$である。また原点から頂点までの線分も長方形に含まれるため，回転後の断面は半径$\sqrt{(1-s{)}^2+s^2}$の円板になる。$dz=\sqrt{2}ds$より$$V=\pi \sqrt{2}{\int }_0^1\{(1-s{)}^2+s^2\}ds=\pi \sqrt{2}{[s-s^2+\frac{2}{3}{s}^3]}_0^1=\frac{2\sqrt{2}\pi }{3}$$である。