岡山大学 2017年度理系数学第3問解答・解説

問題

座標空間内の $4$ 点 $A (1, 0, 0), B (- 1, 0, 0), C (0, 1, 2), D (0, - 1, 2)$ を頂点とする四面体 $A B C D$ を考える．このとき以下の問いに答えよ．

(1) 点 $P (0, 0, t)$ を通り $z$ 軸に垂直な平面と，辺 $A C$ が点 $Q$ において交わるとする． $Q$ の座標を $t$ で表せ．

(2) 四面体 $A B C D$ （内部を含む）を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期理系第3問

高さ $z = t$ で切った断面を調べる。辺 $A C$ 上の点は内分比で表せる。同じ高さの四面体の断面は長方形になり，これを $z$ 軸のまわりに回転すると，長方形の頂点までの距離を半径とする円板になるため，円板の面積を積分する。

辺 $A C$ 上の点を高さのパラメータにし，断面の最遠点を凸関数の最大として頂点に絞る。回転後の円板半径を直接積分する。

点 $Q$ は辺 $A C$ 上にあるから， $0 ≦ λ ≦ 1$ を用いて

Q = (1 - λ) A + λ C

と表せる。すなわち

Q = (1 - λ, λ, 2 λ)

である。 $Q$ は $z = t$ 上にあるので $2 λ = t$ ，したがって $λ = \frac{t}{2}$ である。よって

Q = (1 - \frac{t}{2}, \frac{t}{2}, t)

である。ただし $0 ≦ t ≦ 2$ である。

$z = t$ で四面体を切る。ただし $0 ≦ t ≦ 2$ とし， $λ = \frac{t}{2}$ とおく。この断面は，辺 $A C, A D, B C, B D$ との交点を頂点とする長方形であり， $x y$ 平面に平行に見れば

∣ x ∣ ≦ 1 - λ, ∣ y ∣ ≦ λ

で表される。

この長方形は原点を含むので，これを $z$ 軸のまわりに回転してできる断面は円板である。その半径は長方形の頂点までの距離

(1 - λ)^{2} + λ^{2}

である。したがって高さ $t$ における円板の面積は

π {(1 - λ)^{2} + λ^{2}}

である。

$t = 2 λ$ より，求める体積 $V$ は

V = \int_{0}^{2} π {(1 - t / 2)^{2} + (t / 2)^{2}} d t = π 2 \int_{0}^{1} {(1 - λ)^{2} + λ^{2}} d λ = π 2 \int_{0}^{1} (1 - 2 λ + 2 λ^{2}) d λ = \frac{2 2 π}{3}

である。

辺 $A C$ を $0 ≦ s ≦ 1$ で

(1 - s) A + s C = (1 - s, s, 2 s)

と表す。 $z = t$ より $s = t / 2$ だから

Q (1 - \frac{t}{2}, \frac{t}{2}, t)

である。

高さ $z = 2 s$ の断面は

∣ x ∣ ≦ 1 - s, ∣ y ∣ ≦ s

という長方形である。原点からの距離の二乗 $x^{2} + y^{2}$ はこの長方形の頂点で最大となり，最大値は

(1 - s)^{2} + s^{2}

である。また原点から頂点までの線分も長方形に含まれるため，回転後の断面は半径 $(1 - s)^{2} + s^{2}$ の円板になる。 $d z = 2 d s$ より

V = π 2 \int_{0}^{1} {(1 - s)^{2} + s^{2}} d s = π 2 [s - s^{2} + \frac{2}{3} s^{3}]_{0}^{1} = \frac{2 2 π}{3}

である。