岡山大学 2020年度 前期理系数学 第3問

(1)

時刻 $t$ における線分 $PQ$ と平面 $z=a$ の交点を $R$ とする。$P$ の高さは0、$Q$ の高さは1だから、$xy$ 座標について$$R=(1-a)P+aQ$$である。

例えば $0\leqq t\leqq 1$ では$$P=(t,0,0),Q=(0,t,1),$$したがって$$R=((1-a)t,at,a)\mathrm{.}$$よってこの時間帯の軌跡は、$(0,0)$ と $(1-a,a)$ を結ぶ線分である。同様に残りの3辺も追うと、断面の境界は$$V_0=(0,0),V_1=(1-a,a),$$$$V_2=(1,1),V_3=(a,1-a)$$を順に結ぶ四角形となる。

$0\leqq a<1\mathrm{/}2$ ではこの四角形は凸であり、靴紐公式から面積 $S(a)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{2(1-a)-2a\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-2a\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める切り口の面積は$$1-2a$$である。

(2)

点 $P,Q$ の運動を入れ替えると同じ立体になるため、$K$ は平面 $z=1\mathrm{/}2$ に関して上下対称である。よって体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\frac{1}{2}}(1-2a)da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[a-a^2]}_0^{\frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$

断面の4頂点を得た後、対角線 $V_0{V}_2$ と $V_1{V}_3$ が直交することに注目する。面積は対角線の積の半分で直ちに求まり、全高では $\mathrm{\mid }1-2a\mathrm{\mid }$ を積分して体積を独立に検算できる。

(1)

解法1と同じ内分点の考察により、断面の4頂点は$$V_0=(0,0),V_1=(1-a,a),V_2=(1,1),V_3=(a,1-a)$$である。模式図は次のようになる。

2本の対角線ベクトルは$$\overrightarrow{V_0{V}_2}=(1,1),\overrightarrow{V_3{V}_1}=(1-2a,-(1-2a))\mathrm{.}$$内積は0だから両対角線は直交する。また $0\leqq a<1\mathrm{/}2$ より長さは$$\mathrm{\mid }{V}_0{V}_2\mathrm{\mid }=\sqrt{2},\mathrm{\mid }{V}_1{V}_3\mathrm{\mid }=\sqrt{2}(1-2a)\mathrm{.}$$したがって四角形の面積は$$S(a)=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{V}_0{V}_2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{V}_1{V}_3\mathrm{\mid }=1-2a\mathrm{.}$$(2)

上半分では頂点の役割が入れ替わるので、全高 $0\leqq a\leqq 1$ における断面積は$$S(a)=\mathrm{\mid }1-2a\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$よってカヴァリエリの原理により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1\mathrm{\mid }1-2a\mathrm{\mid }da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{\frac{1}{2}}(1-2a)da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$