岡山大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間の単位立方体

O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (1, 1, 0), C (0, 1, 0),

D (0, 0, 1), E (1, 0, 1), F (1, 1, 1), G (0, 1, 1)

を考える。点 $P$ は時刻0に $O$ を出発し、毎秒1の速さで正方形 $O A B C$ の周上を $O, A, B, C$ の順に一周する。点 $Q$ は時刻0に $D$ を出発し、毎秒1の速さで正方形 $D E F G$ の周上を $D, G, F, E$ の順に一周する。

線分 $P Q$ が通過してできる図形と、正方形 $O A B C, D E F G$ とで囲まれる立体を $K$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $0 ≦ a < 1/2$ とする。平面 $z = a$ で立体 $K$ を切った切り口の面積を求めよ。

(2) 立体 $K$ の体積を求めよ。

出典：岡山大学 2020年度前期理系第3問

方針

解法1（線分上の内分点を時刻ごとに追う）

高さ $z = a$ における線分 $P Q$ 上の点は、底面の $P$ と上面の $Q$ を重み $1 - a, a$ で平均した点である。4つの時間区間でその軌跡の端点を求め、靴紐公式で断面積を出す。体積は上下対称性を使って表示積分する。

解法2（断面の直交する対角線を使う）

断面の4頂点を得た後、対角線 $V_{0} V_{2}$ と $V_{1} V_{3}$ が直交することに注目する。面積は対角線の積の半分で直ちに求まり、全高では $∣1 - 2 a ∣$ を積分して体積を独立に検算できる。

解答

解法1（線分上の内分点を時刻ごとに追う）

(1)

時刻 $t$ における線分 $P Q$ と平面 $z = a$ の交点を $R$ とする。 $P$ の高さは0、 $Q$ の高さは1だから、 $x y$ 座標について

R = (1 - a) P + a Q

である。

例えば $0 ≦ t ≦ 1$ では

P = (t, 0, 0), Q = (0, t, 1),

したがって

R = ((1 - a) t, a t, a) .

よってこの時間帯の軌跡は、 $(0, 0)$ と $(1 - a, a)$ を結ぶ線分である。同様に残りの3辺も追うと、断面の境界は

V_{0} = (0, 0), V_{1} = (1 - a, a),

V_{2} = (1, 1), V_{3} = (a, 1 - a)

を順に結ぶ四角形となる。

$0 ≦ a < 1/2$ ではこの四角形は凸であり、靴紐公式から面積 $S (a)$ は

S (a) = \frac{1}{2} {2 (1 - a) - 2 a} = 1 - 2 a .

したがって求める切り口の面積は

1 - 2 a

である。

(2)

点 $P, Q$ の運動を入れ替えると同じ立体になるため、 $K$ は平面 $z = 1/2$ に関して上下対称である。よって体積 $V$ は

V = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 a) d a = 2 [a - a^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} .

解法2（断面の直交する対角線を使う）

(1)

解法1と同じ内分点の考察により、断面の4頂点は

V_{0} = (0, 0), V_{1} = (1 - a, a), V_{2} = (1, 1), V_{3} = (a, 1 - a)

である。模式図は次のようになる。

2本の対角線ベクトルは

V_{0} V_{2} = (1, 1), V_{3} V_{1} = (1 - 2 a, - (1 - 2 a)) .

内積は0だから両対角線は直交する。また $0 ≦ a < 1/2$ より長さは

∣ V_{0} V_{2} ∣ = 2, ∣ V_{1} V_{3} ∣ = 2 (1 - 2 a) .

したがって四角形の面積は

S (a) = \frac{1}{2} ∣ V_{0} V_{2} ∣ ∣ V_{1} V_{3} ∣ = 1 - 2 a .

(2)

上半分では頂点の役割が入れ替わるので、全高 $0 ≦ a ≦ 1$ における断面積は

S (a) = ∣1 - 2 a ∣.

よってカヴァリエリの原理により

V = \int_{0}^{1} ∣1 - 2 a ∣ d a = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 a) d a = \frac{1}{2} .

岡山大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1（線分上の内分点を時刻ごとに追う）

解法2（断面の直交する対角線を使う）

解答

解法1（線分上の内分点を時刻ごとに追う）

(1)

(2)

解法2（断面の直交する対角線を使う）

(1)

(2)

岡山大学 2020年度
理系数学第3問