岡山大学 2016年度 前期文系数学 第2問

(1)
${\rho }^2=s^2+t^2$とおく。$P\mathrm{\ne }O$より$\rho >0$である。直線$AP$上の点は$$(\lambda s,\lambda t,1-\lambda )$$と表せる。これが球面$S$上にある条件は$${\lambda }^2{s}^2+{\lambda }^2{t}^2+(1-\lambda {)}^2=1$$であり，整理して$$\lambda \{({\rho }^2+1)\lambda -2\}=0$$となる。$A$と異なる交点では$$\lambda =\frac{2}{{\rho }^2+1}$$であるから$$Q=(\frac{2s}{{\rho }^2+1},\frac{2t}{{\rho }^2+1},\frac{{\rho }^2-1}{{\rho }^2+1})$$である。

直線$BQ$上の点を$B+\mu (Q-B)$と表す。$z=0$となる条件から$$-1+\mu (\frac{{\rho }^2-1}{{\rho }^2+1}+1)=0$$であり，$$\mu =\frac{{\rho }^2+1}{2{\rho }^2}$$である。したがって$$R=(\frac{s}{{\rho }^2},\frac{t}{{\rho }^2},0)$$である。よって$$OR=\sqrt{\frac{s^2+t^2}{{\rho }^4}}=\frac{1}{\rho }$$であるから$$OP\cdot OR=\rho \cdot \frac{1}{\rho }=1$$である。

(2)
(1)より$$u=\frac{s}{s^2+t^2},v=\frac{t}{s^2+t^2}$$である。したがって$$u^2+v^2=\frac{1}{s^2+t^2}$$であり，これを用いて$$s=\frac{u}{u^2+v^2},t=\frac{v}{u^2+v^2}$$である。

(3)
点$P$が直線$ax+by=1$上にあるから$$as+bt=1$$である。(2)の式を代入すると$$\frac{au+bv}{u^2+v^2}=1$$である。したがって$$u^2+v^2=au+bv$$となる。平方完成して$${(u-\frac{a}{2})}^2+{(v-\frac{b}{2})}^2=\frac{a^2+b^2}{4}$$を得る。$a^2+b^2\mathrm{\ne }0$であるから，これは同一円周を表す。よって対応する点$R$は$xy$平面内の同一円周上にある。

(1) $z$ 軸と $OP$ を含む平面内で考え，$OP=r$ として球面の断面を単位円にする。直線 $AP$ と単位円の交点を2次元座標で求め，$B,Q,R$ の一直線条件から $OR=1\mathrm{/}r$ を得る。(2) は方向が変わらないことから成分へ戻し，(3) は直線の式に代入して平方完成する。

(1) $$r=OP=\sqrt{s^2+t^2}$$ とする。$P\mathrm{\ne }O$ より $r>0$ である。$z$ 軸と $OP$ を含む平面を取り，$OP$ 方向の座標を $\xi$，高さを $z$ とする。この平面では$$A=(0,1),B=(0,-1),P=(r,0),S:{\xi }^2+z^2=1.$$直線 $AP$ は $z=1-\xi \mathrm{/}r$ である。単位円へ代入し，$A$ でない交点を選ぶと$$Q=(\frac{2r}{r^2+1},\frac{r^2-1}{r^2+1})\mathrm{.}$$直線 $BQ$ 上で高さが $-1$ から0になる割合は$$\frac{1}{1+z_Q}=\frac{r^2+1}{2r^2}\mathrm{.}$$したがって，その点 $R$ の $\xi$ 座標は$$\frac{r^2+1}{2r^2}\cdot \frac{2r}{r^2+1}=\frac{1}{r}\mathrm{.}$$ゆえに $OR=1\mathrm{/}r$ であり，$$OP\cdot OR=r\cdot \frac{1}{r}=1.$$(2) 上の断面で $P$ と $R$ は $O$ から同じ向きにある。したがって平面上の成分へ戻すと$$(u,v)=\frac{1\mathrm{/}r}{r}(s,t)=\frac{(s,t)}{s^2+t^2}\mathrm{.}$$よって$$u^2+v^2=\frac{1}{s^2+t^2}$$であり，$$s=\frac{u}{u^2+v^2},t=\frac{v}{u^2+v^2}\mathrm{.}$$(3) $P$ が $as+bt=1$ を満たすので，(2) を代入すると$$\frac{au+bv}{u^2+v^2}=1.$$したがって$$u^2+v^2=au+bv,$$すなわち$${(u-\frac{a}{2})}^2+{(v-\frac{b}{2})}^2=\frac{a^2+b^2}{4}\mathrm{.}$$$a^2+b^2\mathrm{\ne }0$ だから，これは中心 $(a\mathrm{/}2,b\mathrm{/}2)$，半径 $\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{/}2$ の1つの円周である。