岡山大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$1, 2, 3, 4$ から等しい確率で数を選ぶ試行を考える。この試行を繰り返すとき、第 $n$ 回目で選んだ数を $r_{n}$ とおく。数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1, a_{n + 1} = r_{n} a_{n} (n = 1, 2, \dots)

によって定める。次の問いに答えよ。

(1) $a_{4} = 24$ となる確率を求めよ。

(2) $a_{5} = 24$ となる確率を求めよ。

(3) $n ≧ 6$ とし、 $a_{n} = 24$ となる確率を求めよ。

出典：岡山大学 2020年度前期文系第1問

方針

解法1（積が24になる多重集合を分類する）

$a_{n} = r_{1} r_{2} \dots r_{n - 1}$ と書く。 $24 = 2^{3} \cdot 3$ なので、選ばれる数の多重集合は ${2, 3, 4}$ または ${2, 2, 2, 3}$ に1を補ったものに限られる。各並べ方を数えて全事象 $4^{n - 1}$ で割る。

解法2（2の指数を先に数える）

積に因数3をもたせるには、 $3$ をちょうど1回選ぶ必要がある。残りの $1, 2, 4$ を2の指数 $0, 1, 2$ に読み替え、指数の和が3になる列を数える。

解答

解法1（積が24になる多重集合を分類する）

(1)

a_{4} = r_{1} r_{2} r_{3} .

積が24になるには、 ${r_{1}, r_{2}, r_{3}}$ が ${2, 3, 4}$ でなければならない。その並べ方は

3! = 6 通り

だから、求める確率は

\frac{6}{4 ^{3}} = \frac{3}{32} .

(2)

a_{5} = r_{1} r_{2} r_{3} r_{4} .

積が24になる多重集合は

{1, 2, 3, 4}, {2, 2, 2, 3}

の2種類である。並べ方はそれぞれ

4! = 24, \frac{4 !}{3 !} = 4

通りなので、求める確率は

\frac{24 + 4}{4 ^{4}} = \frac{7}{64} .

(3)

$a_{n}$ は $n - 1$ 個の数の積である。積が24になる多重集合は次の2種類に限られる。

{2, 3, 4, n - 4 個 1, \dots, 1}, {2, 2, 2, 3, n - 5 個 1, \dots, 1} .

それぞれの並べ方は

\frac{( n - 1 )!}{( n - 4 )!} = (n - 1) (n - 2) (n - 3),

\frac{( n - 1 )!}{3 ! ( n - 5 )!} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 )}{6}

通りである。よって求める確率は

\frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{4 ^{n - 1}} + \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 )}{6 \cdot 4 ^{n - 1}} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n + 2 )}{6 \cdot 4 ^{n - 1}} .

解法2（2の指数を先に数える）

(1)

3を置く位置は3通りである。残り2か所の2の指数は $(1, 2)$ または $(2, 1)$ だから、適する列は

3 \cdot 2 = 6 通り .

したがって確率は

\frac{6}{4 ^{3}} = \frac{3}{32} .

(2)

3を置く位置は4通りである。残り3か所の指数の和が3になるのは、 $(0, 1, 2)$ の並べ替え6通りと $(1, 1, 1)$ の1通りである。よって

\frac{4 ( 6 + 1 )}{4 ^{4}} = \frac{7}{64} .

(3)

3を置く位置は $n - 1$ 通りである。残り $n - 2$ か所の指数の和が3になる列は、指数2を1個、指数1を1個置く

(n - 2) (n - 3) 通り

と、指数1を3個置く

\frac{( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 )}{6} 通り

である。したがって

P (a_{n} = 24) = \frac{n - 1}{4 ^{n - 1}} {(n - 2) (n - 3) + \frac{( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 )}{6}} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n + 2 )}{6 \cdot 4 ^{n - 1}} .

岡山大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（積が24になる多重集合を分類する）

解法2（2の指数を先に数える）

解答

解法1（積が24になる多重集合を分類する）

(1)

(2)

(3)

解法2（2の指数を先に数える）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2020年度
文系数学第1問