岡山大学 2020年度 前期文系数学 第1問

(1) $$a_4=r_1{r}_2{r}_3\mathrm{.}$$積が24になるには、$\{r_1,r_2,r_3\}$ が $\{2,3,4\}$ でなければならない。その並べ方は$$3!=6\text{ 通り}$$だから、求める確率は$$\frac{6}{4^3}=\frac{3}{32}\mathrm{.}$$(2)$$a_5=r_1{r}_2{r}_3{r}_4\mathrm{.}$$積が24になる多重集合は$$\{1,2,3,4\},\{2,2,2,3\}$$の2種類である。並べ方はそれぞれ$$4!=24,\frac{4!}{3!}=4$$通りなので、求める確率は$$\frac{24+4}{4^4}=\frac{7}{64}\mathrm{.}$$(3)

$a_n$ は $n-1$ 個の数の積である。積が24になる多重集合は次の2種類に限られる。$$\{2,3,4,\underset{n-4\text{ 個}}{\underbrace{1,\dots ,1}}\},\{2,2,2,3,\underset{n-5\text{ 個}}{\underbrace{1,\dots ,1}}\}\mathrm{.}$$それぞれの並べ方は$$\frac{(n-1)!}{(n-4)!}=(n-1)(n-2)(n-3),$$$$\frac{(n-1)!}{3!(n-5)!}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$$通りである。よって求める確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{4^{n-1}}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6\cdot 4^{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n+2)}{6\cdot 4^{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$

積に因数3をもたせるには、$3$ をちょうど1回選ぶ必要がある。残りの $1,2,4$ を2の指数 $0,1,2$ に読み替え、指数の和が3になる列を数える。

(1)

3を置く位置は3通りである。残り2か所の2の指数は $(1,2)$ または $(2,1)$ だから、適する列は$$3\cdot 2=6\text{ 通り}\mathrm{.}$$したがって確率は$$\frac{6}{4^3}=\frac{3}{32}\mathrm{.}$$(2)

3を置く位置は4通りである。残り3か所の指数の和が3になるのは、$(0,1,2)$ の並べ替え6通りと $(1,1,1)$ の1通りである。よって$$\frac{4(6+1)}{4^4}=\frac{7}{64}\mathrm{.}$$(3)

3を置く位置は $n-1$ 通りである。残り $n-2$ か所の指数の和が3になる列は、指数2を1個、指数1を1個置く$$(n-2)(n-3)\text{ 通り}$$と、指数1を3個置く$$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}\text{ 通り}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(a_n=24)}& {\displaystyle =\frac{n-1}{4^{n-1}}\{(n-2)(n-3)+\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n+2)}{6\cdot 4^{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$