岡山大学 2020年度理系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $x, y$ に対し、袋 $A$ には白玉2個と赤玉3個、袋 $B$ には白玉 $x$ 個と赤玉 $y$ 個が入っている。袋 $A$ から1個を袋 $B$ へ移し、よく混ぜた袋 $B$ から1個を袋 $A$ へ戻す。この操作後に袋 $A$ の白玉の個数が初めと変わらない確率を $p$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $x = 10, y = 23$ のとき、 $p$ を求めよ。

(2) (1) と同じ $p$ を与え、かつ

1 ≦ x ≦ 1000, 1 ≦ y ≦ 1000

を満たす自然数の組 $(x, y)$ は何組あるか。

出典：岡山大学 2020年度前期理系第1問

方針

解法1（同色を戻す2事象と合同式で数える）

白を移して白を戻す場合と、赤を移して赤を戻す場合を加える。得られた確率を $47/85$ と等置して一次不定方程式へ直し、法4の合同式で一般解を表して範囲内の整数を数える。

解法2（既知の1組から不定方程式の全解を作る）

確率式を条件付きの樹形図として再確認した後、一次不定方程式には既知の解 $(10, 23)$ があることを利用する。任意の解との差を取れば全解が一度に得られ、上下限の共通部分から個数を数えられる。

解答

解法1（同色を戻す2事象と合同式で数える）

(1)

袋 $A$ の白玉数が変わらないのは、次の互いに排反な2場合である。

袋 A から移す玉 白 赤 袋 B から戻す玉 白 赤 確率 \frac{2}{5} \cdot \frac{x + 1}{x + y + 1} \frac{3}{5} \cdot \frac{y + 1}{x + y + 1}

したがって

p = \frac{2}{5} \cdot \frac{x + 1}{x + y + 1} + \frac{3}{5} \cdot \frac{y + 1}{x + y + 1} = \frac{2 x + 3 y + 5}{5 ( x + y + 1 )} .

$x = 10, y = 23$ を代入すると

p = \frac{20 + 69 + 5}{5 \cdot 34} = \frac{47}{85} .

(2)

同じ確率を与える条件は

\frac{2 x + 3 y + 5}{5 ( x + y + 1 )} = \frac{47}{85} .

分母を払って整理すると

17 (2 x + 3 y + 5) = 47 (x + y + 1)

より

13 x - 4 y = 38

を得る。法4で見ると $x \equiv 2 (mod 4)$ だから

x = 4 k + 2

と書ける。このとき

y = 13 k - 3.

範囲条件を代入すると

1 ≦ 4 k + 2 ≦ 1000, 1 ≦ 13 k - 3 ≦ 1000,

したがって

1 ≦ k ≦ 77.

各 $k$ は異なる1組を与えるから、求める組数は

77

である。

解法2（既知の1組から不定方程式の全解を作る）

(1)

最初に白を選んだ条件の下では、袋 $B$ の白玉は $x + 1$ 個である。最初に赤を選んだ条件の下では、袋 $B$ の赤玉は $y + 1$ 個である。よって全確率は

p = \frac{2}{5} \frac{x + 1}{x + y + 1} + \frac{3}{5} \frac{y + 1}{x + y + 1} .

$x = 10, y = 23$ のとき

p = \frac{2}{5} \frac{11}{34} + \frac{3}{5} \frac{24}{34} = \frac{47}{85} .

(2)

この確率と等しい条件を整理すると、解法1と同じく

13 x - 4 y = 38

となる。既知の解 $(x, y) = (10, 23)$ を引くと

13 (x - 10) = 4 (y - 23) .

13と4は互いに素だから、整数 $m$ を用いて全解は

x = 10 + 4 m, y = 23 + 13 m

と表される。範囲条件から

- 2 ≦ m ≦ 247, - 1 ≦ m ≦ 75.

両方を満たす整数は

m = - 1, 0, 1, \dots, 75

であり、その個数は

75 - (- 1) + 1 = 77

である。端の値はそれぞれ

m = - 1 : (x, y) = (6, 10), m = 75 : (x, y) = (310, 998)

となり、確かに指定範囲内にある。

岡山大学 2020年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（同色を戻す2事象と合同式で数える）

解法2（既知の1組から不定方程式の全解を作る）

解答

解法1（同色を戻す2事象と合同式で数える）

(1)

(2)

解法2（既知の1組から不定方程式の全解を作る）

(1)

(2)

岡山大学 2020年度
理系数学第1問