岡山大学 2020年度 前期理系数学 第1問

(1)

袋 $A$ の白玉数が変わらないのは、次の互いに排反な2場合である。$$\begin{array}{ccc}\text{袋 }A\text{ から移す玉}& \text{袋 }B\text{ から戻す玉}& \text{確率}\\ \text{白}& \text{白}& {\displaystyle \frac{2}{5}\cdot \frac{x+1}{x+y+1}}\\ \text{赤}& \text{赤}& {\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \frac{y+1}{x+y+1}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p}& {\displaystyle =\frac{2}{5}\cdot \frac{x+1}{x+y+1}+\frac{3}{5}\cdot \frac{y+1}{x+y+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2x+3y+5}{5(x+y+1)}\mathrm{.}}\end{array}$$$x=10,y=23$ を代入すると$$p=\frac{20+69+5}{5\cdot 34}=\frac{47}{85}\mathrm{.}$$(2)

同じ確率を与える条件は$$\frac{2x+3y+5}{5(x+y+1)}=\frac{47}{85}\mathrm{.}$$分母を払って整理すると$$17(2x+3y+5)=47(x+y+1)$$より$$13x-4y=38$$を得る。法4で見ると $x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だから$$x=4k+2$$と書ける。このとき$$y=13k-3.$$範囲条件を代入すると$$1\leqq 4k+2\leqq 1000,1\leqq 13k-3\leqq 1000,$$したがって$$1\leqq k\leqq 77.$$各 $k$ は異なる1組を与えるから、求める組数は$$77$$である。

確率式を条件付きの樹形図として再確認した後、一次不定方程式には既知の解 $(10,23)$ があることを利用する。任意の解との差を取れば全解が一度に得られ、上下限の共通部分から個数を数えられる。

(1)

最初に白を選んだ条件の下では、袋 $B$ の白玉は $x+1$ 個である。最初に赤を選んだ条件の下では、袋 $B$ の赤玉は $y+1$ 個である。よって全確率は$$p=\frac{2}{5}\frac{x+1}{x+y+1}+\frac{3}{5}\frac{y+1}{x+y+1}\mathrm{.}$$$x=10,y=23$ のとき$$p=\frac{2}{5}\frac{11}{34}+\frac{3}{5}\frac{24}{34}=\frac{47}{85}\mathrm{.}$$(2)

この確率と等しい条件を整理すると、解法1と同じく$$13x-4y=38$$となる。既知の解 $(x,y)=(10,23)$ を引くと$$13(x-10)=4(y-23)\mathrm{.}$$13と4は互いに素だから、整数 $m$ を用いて全解は$$x=10+4m,y=23+13m$$と表される。範囲条件から$$-2\leqq m\leqq 247,-1\leqq m\leqq 75.$$両方を満たす整数は$$m=-1,0,1,\dots ,75$$であり、その個数は$$75-(-1)+1=77$$である。端の値はそれぞれ$$m=-1:(x,y)=(6,10),m=75:(x,y)=(310,998)$$となり、確かに指定範囲内にある。