岡山大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

0でない複素数 $α$ が

∣ α - i ∣ = 1

を満たし、その偏角 $θ$ が

0 < θ < \frac{π}{2}

を満たすとする。次の問いに答えよ。

(1) $∣ α ∣$ を $θ$ を用いて表せ。

(2) $β = - α + 2 i$ とおく。 $0 ≦ ar g β < 2 π$ とするとき、 $ar g β$ を $θ$ を用いて表せ。

(3) 複素数平面の実軸上に点

P (\frac{1}{3})

をとる。 $A (α), B (β), P$ が一直線上にあるとき、 $θ$ を求めよ。

出典：岡山大学 2020年度前期理系第2問

方針

解法1（極形式と一直線条件を座標で処理する）

$α = r (cos θ + i sin θ)$ とおき、円の条件から $r$ を決める。 $α, β$ の実部・虚部を倍角で表し、最後は $A B$ と $A P$ の行列式を0とする。

解法2（円の直径と相似な角を図形的に読む）

円の中心を $C (i)$ とする。 $O, C, A$ の二等辺三角形から中心角が $2 θ$ であることを読み、 $B = 2 C - A$ から $A B$ が直径だと見る。(3)では $A, C, P$ が一直線になるので、直角三角形 $O C P$ の角と中心角を比較する。

解答

解法1（極形式と一直線条件を座標で処理する）

(1)

α = r (cos θ + i sin θ) (r > 0)

とおく。条件 $∣ α - i ∣ = 1$ を2乗すると

r^{2} cos^{2} θ + (r sin θ - 1)^{2} = 1.

整理して

r (r - 2 sin θ) = 0.

$r > 0$ であるから

∣ α ∣ = r = 2 sin θ

である。

(2)

(1)を用いると

α = 2 sin θ (cos θ + i sin θ) = sin 2 θ + i (1 - cos 2 θ) .

したがって

β = - sin 2 θ + i (1 + cos 2 θ) = 2 cos θ (- sin θ + i cos θ) .

$0 < θ < π /2$ より $2 cos θ > 0$ なので

ar g β = θ + \frac{π}{2}

である。

(3)

複素数を座標で表すと

A = (sin 2 θ, 1 - cos 2 θ),

B = (- sin 2 θ, 1 + cos 2 θ), P = (\frac{1}{3}, 0) .

3点が一直線上にある条件は

det (A B, A P) = 0.

これを計算すると

0 = = (- 2 sin 2 θ) {- (1 - cos 2 θ)} - 2 cos 2 θ (\frac{1}{3} - sin 2 θ) 2 (sin 2 θ - \frac{cos 2 θ}{3}) .

よって

sin 2 θ = \frac{cos 2 θ}{3} .

左辺は正であるから $cos 2 θ > 0$ であり、 $0 < 2 θ < π /2$ である。したがって

tan 2 θ = \frac{1}{3}, 2 θ = \frac{π}{6} .

ゆえに

θ = \frac{π}{12}

である。

解法2（円の直径と相似な角を図形的に読む）

(1)

$∣ α - i ∣ = 1$ は、中心 $C (i)$ 、半径1の円を表す。原点 $O$ もこの円上にあるから

C O = C A = 1.

$O A$ の偏角は $θ$ 、 $O C$ の偏角は $π /2$ なので

∠ C O A = \frac{π}{2} - θ .

二等辺三角形 $O C A$ より

∠ O C A = 2 θ .

余弦定理を使うと

O A^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 cos 2 θ = 4 sin^{2} θ .

したがって

∣ α ∣ = O A = 2 sin θ .

(2)

β = 2 i - α

であるから、点 $C (i)$ は線分 $A B$ の中点である。したがって $A B$ はこの円の直径であり、円周角の定理から

∠ A O B = \frac{π}{2} .

点 $B$ は第2象限にあるので、 $O B$ の偏角は

ar g β = θ + \frac{π}{2}

である。

(3)

$A, B, P$ が一直線上にあり、 $C$ は $A B$ の中点だから、 $A, C, P$ も一直線上にある。配置は次図のようになる。

三角形 $O C P$ は $O$ で直角であり、

O C = 1, O P = \frac{1}{3} .

したがって

tan ∠ O C P = \frac{O P}{O C} = \frac{1}{3},

すなわち

∠ O C P = \frac{π}{6} .

一方、(1)で示したように $∠ O C A = 2 θ$ であり、半直線 $C A$ と $C P$ は一致する。よって

2 θ = \frac{π}{6}, θ = \frac{π}{12}

である。

岡山大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（極形式と一直線条件を座標で処理する）

解法2（円の直径と相似な角を図形的に読む）

解答

解法1（極形式と一直線条件を座標で処理する）

(1)

(2)

(3)

解法2（円の直径と相似な角を図形的に読む）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2020年度
理系数学第2問