岡山大学 2020年度 前期理系数学 第2問

(1) $$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )(r>0)$$とおく。条件 $\mathrm{\mid }\alpha -i\mathrm{\mid }=1$ を2乗すると$$r^2{\cos }^2\theta +(r\sin \theta -1{)}^2=1.$$整理して$$r(r-2\sin \theta )=0.$$$r>0$ であるから$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=r=2\sin \theta$$である。

(2)

(1) を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \alpha }& {\displaystyle =2\sin \theta (\cos \theta +i\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin 2\theta +i(1-\cos 2\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \beta }& {\displaystyle =-\sin 2\theta +i(1+\cos 2\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos \theta (-\sin \theta +i\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $2\cos \theta >0$ なので$$\arg \beta =\theta +\frac{\pi }{2}$$である。

(3)

複素数を座標で表すと$$A=(\sin 2\theta ,1-\cos 2\theta ),$$$$B=(-\sin 2\theta ,1+\cos 2\theta ),P=(\frac{1}{\sqrt{3}},0)\mathrm{.}$$3点が一直線上にある条件は$$\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP})=0.$$これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0=}& {\displaystyle (-2\sin 2\theta )\{-(1-\cos 2\theta )\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2\cos 2\theta (\frac{1}{\sqrt{3}}-\sin 2\theta )}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle 2(\sin 2\theta -\frac{\cos 2\theta }{\sqrt{3}})\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\sin 2\theta =\frac{\cos 2\theta }{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$左辺は正であるから $\cos 2\theta >0$ であり、$0<2\theta <\pi \mathrm{/}2$ である。したがって$$\tan 2\theta =\frac{1}{\sqrt{3}},2\theta =\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$ゆえに$$\theta =\frac{\pi }{12}$$である。

円の中心を $C(i)$ とする。$O,C,A$ の二等辺三角形から中心角が $2\theta$ であることを読み、$B=2C-A$ から $AB$ が直径だと見る。(3)では $A,C,P$ が一直線になるので、直角三角形 $OCP$ の角と中心角を比較する。

(1)

$\mathrm{\mid }\alpha -i\mathrm{\mid }=1$ は、中心 $C(i)$、半径1の円を表す。原点 $O$ もこの円上にあるから$$CO=CA=1.$$$OA$ の偏角は $\theta$、$OC$ の偏角は $\pi \mathrm{/}2$ なので$$\mathrm{\angle }COA=\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{.}$$二等辺三角形 $OCA$ より$$\mathrm{\angle }OCA=2\theta \mathrm{.}$$余弦定理を使うと$$O{A}^2=1^2+1^2-2\cos 2\theta =4{\sin }^2\theta \mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=OA=2\sin \theta \mathrm{.}$$(2)$$\beta =2i-\alpha$$であるから、点 $C(i)$ は線分 $AB$ の中点である。したがって $AB$ はこの円の直径であり、円周角の定理から$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$点 $B$ は第2象限にあるので、$OB$ の偏角は$$\arg \beta =\theta +\frac{\pi }{2}$$である。

(3)

$A,B,P$ が一直線上にあり、$C$ は $AB$ の中点だから、$A,C,P$ も一直線上にある。配置は次図のようになる。

三角形 $OCP$ は $O$ で直角であり、$$OC=1,OP=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$したがって$$\tan \mathrm{\angle }OCP=\frac{OP}{OC}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$すなわち$$\mathrm{\angle }OCP=\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$一方、(1)で示したように $\mathrm{\angle }OCA=2\theta$ であり、半直線 $CA$ と $CP$ は一致する。よって$$2\theta =\frac{\pi }{6},\theta =\frac{\pi }{12}$$である。