大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$\varphi ={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$$ とおく。図形全体を回転しても長さや角度は変わらないので、$A_1$ の偏角を $0$ としてよい。このとき $A_2$ の偏角は $2\varphi$ である。

辺 $A_1{A}_2$ を含む直線は、原点からの距離が $\cos \varphi$ で、法線方向の偏角が $\varphi$ の直線である。これは、弦 $A_1{A}_2$ の中点が偏角 $\varphi$ の半径上にあるためである。

一方、辺 $B_1{B}_n$ は、辺 $A_1{A}_n$ を角 $2\theta$ だけ回転したものである。辺 $A_1{A}_n$ の法線方向は $-\varphi$ だから、辺 $B_1{B}_n$ の法線方向は $2\theta -\varphi$ であり、原点からの距離は同じく $\cos \varphi$ である。

したがって、辺 $A_1{A}_2$ の直線と辺 $B_1{B}_n$ の直線は、偏角 $\theta$ の半直線に関して対称である。よって交点 $C$ はその半直線上にあり、$\mathrm{\angle }{A}_{1}OC=\theta$ である。 $OC=\rho$ とおく。点 $C$ から、辺 $A_1{A}_2$ の法線方向への成分は $\rho \cos (\varphi -\theta )$ であり、これは直線の原点からの距離 $\cos \varphi$ に等しい。よって $$\rho \cos (\varphi -\theta )=\cos \varphi$$ となり、$$OC={\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos (\varphi -\theta )}}={\displaystyle \frac{\cos (\pi \mathrm{/}n)}{\cos (\pi \mathrm{/}n-\theta )}}$$である。

(2)
重なり部分の境界は、$D$ の辺と $D_{2\theta }$ の辺が交互に現れる $2n$ 角形である。隣り合う頂点の偏角の差は常に $\varphi$ である。

(1) で求めた型の頂点の半径を $$R_1={\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos (\varphi -\theta )}}$$ とする。もう一方の型の頂点は、例えば辺 $A_1{A}_2$ と辺 $B_1{B}_2$ の交点である。この2直線の法線方向は $\varphi$ と $\varphi +2\theta$ であり、対称軸の偏角は $\varphi +\theta$ である。したがって同様に $$R_2={\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos \theta }}$$ である。

重なり部分は、原点 $O$ と隣り合う2頂点でできる三角形に分けられる。各三角形は、2辺の長さが $R_1,R_2$、はさむ角が $\varphi$ であるから、面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}{R}_1{R}_2\sin \varphi$ である。この三角形が $2n$ 個あるので $$S(\theta )=2n\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{R}_1{R}_2\sin \varphi =n{R}_1{R}_2\sin \varphi$$ である。したがって$$S(\theta )={\displaystyle \frac{n{\cos }^2\varphi \sin \varphi }{\cos (\varphi -\theta )\cos \theta }}$$すなわち$$S(\theta )={\displaystyle \frac{n{\cos }^2(\pi \mathrm{/}n)\sin (\pi \mathrm{/}n)}{\cos (\pi \mathrm{/}n-\theta )\cos \theta }}$$である。

次に最小となる $\theta$ を求める。分子は $\theta$ によらず正であるから、分母 $\cos (\varphi -\theta )\cos \theta$ が最大になるとき $S(\theta )$ は最小になる。積和公式より $$\cos (\varphi -\theta )\cos \theta ={\displaystyle \frac{\cos (\varphi -2\theta )+\cos \varphi }{2}}$$ である。範囲 $0\leqq \theta <\varphi$ では、$\cos (\varphi -2\theta )$ は $\varphi -2\theta =0$ のとき最大である。

したがって $$\theta ={\displaystyle \frac{\varphi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$ のとき $S(\theta )$ は最小となる。その最小値は $$S_{\min }={\displaystyle \frac{n{\cos }^2\varphi \sin \varphi }{{\cos }^2(\varphi \mathrm{/}2)}}$$ である。

図は $n=6$ の例。重なりの頂点半径は2種類が交互に現れる

$O$ から各辺を含む直線までの距離が $\cos (\pi \mathrm{/}n)$ であることを
用い、2直線の角の二等分線上で交点半径を求める。面積は全体を
$n$ 個の合同な扇形状部分に分け、1部分を2つの三角形として足す。
最小化は余弦の積を平方差へ直す。

(1)
$\varphi =\pi \mathrm{/}n$ とする。辺 $A_1{A}_2$ と辺 $B_1{B}_n$ を含む
2直線は、原点からの距離がともに $\cos \varphi$、法線方向が
$\varphi$ と $2\theta -\varphi$ である。したがってその交点 $C$ は
2方向の二等分線、すなわち偏角 $\theta$ の半直線上にある。
よって $\mathrm{\angle }{A}_{1}OC=\theta$ であり$$OC\cos (\varphi -\theta )=\cos \varphi$$から$$OC={\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos (\varphi -\theta )}}\mathrm{.}$$(2)
重なり部分を原点のまわりに角 $2\varphi$ ずつ分けると、合同な
$n$ 部分になる。1部分の境界頂点の半径は$$R_1={\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos (\varphi -\theta )}},R_2={\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos \theta }}$$である。この部分は、はさむ角が $\varphi$ の同面積三角形2個からなり、
その合計面積は $R_1{R}_2\sin \varphi$ である。よって$$S(\theta )={\displaystyle \frac{n{\cos }^2\varphi \sin \varphi }{\cos (\varphi -\theta )\cos \theta }}\mathrm{.}$$ここで$$\cos (\varphi -\theta )\cos \theta ={\cos }^2{\displaystyle \frac{\varphi }{2}}-{\sin }^2(\theta -{\displaystyle \frac{\varphi }{2}})$$だから、分母は $\theta =\varphi \mathrm{/}2$ で最大になる。したがって$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$のとき $S(\theta )$ は最小である。