大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

条件から$$y\leqq {\log }_{2}x<n+1$$である。$y$ は正の整数だから$$y=1,2,\dots ,n$$である。

一つの $y$ を固定する。底が $2>1$ であるから$$y\leqq {\log }_{2}x⟺2^y\leqq x\mathrm{.}$$また、$x$ は整数なので$$x=2^y,2^y+1,\dots ,2^{n+1}-1.$$その個数は $2^{n+1}-2^y$ 個である。したがって求める個数 $N$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N}& {\displaystyle =\sum _{y=1}^n(2^{n+1}-2^y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n{2}^{n+1}-(2^{n+1}-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1)2^{n+1}+2.}\end{array}$$数え上げる領域は次のように、各高さ $y$ で左端が $2^y$ となる階段状である。

よって答えは$$(n-1)2^{n+1}+2$$個である。

$x$ を $2^j\leqq x<2^{j+1}$ という区間に分ける。この区間では $\lfloor {\log }_{2}x\rfloor =j$ なので、各 $x$ に対応する $y$ の個数が一定になる。

$j=1,2,\dots ,n$ に対して$$2^j\leqq x<2^{j+1}$$とする。この区間には整数 $x$ が $2^j$ 個あり、各 $x$ について$$y=1,2,\dots ,j$$の $j$ 個が条件を満たす。したがって求める個数は$$N=\sum _{j=1}^{n}j{2}^j$$である。

この和を $N$ とおいて2倍し、添字をずらすと$$2N=\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)2^j\mathrm{.}$$元の式を引けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N}& {\displaystyle =n{2}^{n+1}-\sum _{j=1}^n{2}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n{2}^{n+1}-(2^{n+1}-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1)2^{n+1}+2.}\end{array}$$よって答えは$$(n-1)2^{n+1}+2$$個である。