大阪大学 1992年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問

$m$ を $0 < m < 1$ なる実数とする．
関数 $f (x) = - x \log x$ $(x > 0)$ ， $g (x) = f (m x)$ $(x > 0)$ に対し，
$y = f (x)$ ， $y = g (x)$ の表す曲線を，それぞれ $C_{1}$ ， $C_{2}$ とし，
2つの曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ の交点 $P (α, - α \log α)$ における，曲線 $C_{1}$ の接線を $l_{1}$ ，
直線 $x = t$ $(0 < t < α)$ を $l_{2}$ とする．
$l_{1}$ ， $l_{2}$ および $C_{1}$ で囲まれる図形の面積を $S_{1} (t)$ ，
$l_{1}$ ， $l_{2}$ および $C_{2}$ で囲まれる図形の面積を $S_{2} (t)$ とするとき，次の問に答えよ．
ただし，必要なら $\lim_{x \to 0} x \log x = 0$ の関係は用いてよい．

(1) $S_{1} (t)$ を $α$ と $t$ とを用いて表せ．

(2) $α$ を $m$ で表せ．

(3) $\lim_{t \to 0} \frac{S_{1} (t)}{S_{2} (t)} = \frac{2}{3}$ となる $m$ の値を求めよ．

難易度8/ 10計算量8/ 10目安22分

指数・対数、積分、関数　接線・法線、面積計算、極限計算

方針

交点条件から $α$ を求める。接線と各曲線の差を積分し、 $t \to 0$ では $x \log x \to 0$ を使って面積の極限を計算する。比の条件を $m$ の一次式へ整理する。

解答

$L = \log α$ とおく。 $C_{1}$ の $P$ における接線は $l_{1} : y = α - (L + 1) x$ である。

(1) $S_{1} (t) = \int_{t}^{α} {α - (L + 1) x + x \log x} d x$ だから $S_{1} (t) = \frac{α^{2}}{4} - α t + \frac{3 t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{2} \log \frac{t}{α} .$ (2) 交点条件 $f (α) = f (m α)$ は $\log α = m \log (m α)$ だから $α = m^{m / (1 - m)} .$ (3) $C_{2}$ は $g (x) = - m x \log (m x)$ である。接線は両曲線より上にあるので $S_{2} (t) = \int_{t}^{α} {α - (L + 1) x + m x \log (m x)} d x .$ $t \to 0$ とすると $\lim S_{1} (t) = \frac{α^{2}}{4} .$ また $(1 - m) L = m \log m$ を用いて整理すると $\lim S_{2} (t) = \frac{2 - m}{4} α^{2} .$ 従って $\lim_{t \to 0} \frac{S_{1} (t)}{S_{2} (t)} = \frac{1}{2 - m} .$ これが $2 / 3$ だから $m = \frac{1}{2} .$

総評

接線面積の極限を2曲線で比較する難問で目安は22分。交点関係 $(1 - m) \log α = m \log m$ を面積式の整理に再利用するのが核心である。

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出典: 大阪大学 1992年度後期理系数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

大阪大学 1992年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問