大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
${\log }_{3}4$ が有理数であると仮定する。正の整数 $m,n$ を用いて$${\log }_{3}4={\displaystyle \frac{m}{n}}$$と書けば$$3^m=4^n=2^{2n}$$となる。左辺の素因数は3だけ、右辺の素因数は2だけなので、素因数分解の一意性に反する。従って ${\log }_{3}4$ は無理数である。

(2) $$a=\sqrt{3},b={\log }_{3}4$$と置く。$a,b$ はともに無理数であり$$a^b=(\sqrt{3}{)}^{{\log }_{3}4}=3^{{\log }_{3}2}=2$$は有理数である。従ってこの組は条件を満たす。

(1) は奇偶性だけで矛盾を得る。(2) は $(\sqrt{2}{)}^{\sqrt{2}}$ が有理数か無理数かで分け、どちらでも条件を満たす組を作る。

(1)
${\log }_{3}4=m\mathrm{/}n$ と仮定すれば$$3^m=2^{2n}$$となる。しかし左辺は奇数、右辺は偶数であり矛盾する。よって ${\log }_{3}4$ は無理数である。

(2) $$u=(\sqrt{2}{)}^{\sqrt{2}}$$と置く。

$u$ が有理数なら$$(a,b)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$$とすれば $a,b$ は無理数で $a^b=u$ は有理数である。

$u$ が無理数なら$$(a,b)=(u,\sqrt{2})$$とすれば $a,b$ は無理数であり$$a^b={((\sqrt{2}{)}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}}=2$$は有理数である。

従ってどちらの場合にも条件を満たす組が存在する。