大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

接点の $x$ 座標を $x_0$ とする。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a\mathrm{/}x$ であるから、接線の傾きは ${\displaystyle \frac{a}{x_0}}$ である。一方、この接線は点 $(-a,0)$ と接点 $(x_0,a\log x_0+1)$ を通るので、その傾きは ${\displaystyle \frac{a\log x_0+1}{x_0+a}}$ である。よって $${\displaystyle \frac{a}{x_0}}={\displaystyle \frac{a\log x_0+1}{x_0+a}}$$ である。

これを整理すると $$a(x_0+a)=x_0(a\log x_0+1)$$ すなわち $$a{x}_0\log x_0-a{x}_0+x_0=a^2$$ を得る。

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の交点は $a\log x+1=0$ より $x=e^{-1\mathrm{/}a}$ である。したがって、囲まれる部分の面積は $$S(a)={\int }_{e^{-1\mathrm{/}a}}^{x_0}(a\log x+1)dx$$ である。

ここで $$\int (a\log x+1)dx=ax\log x-ax+x$$ だから$$S(a)=a{x}_0\log x_0-a{x}_0+x_0-\{a{e}^{-1\mathrm{/}a}\log (e^{-1\mathrm{/}a})-a{e}^{-1\mathrm{/}a}+e^{-1\mathrm{/}a}\}$$である。$\log (e^{-1\mathrm{/}a})=-1\mathrm{/}a$ より、下端の値は $$-e^{-1\mathrm{/}a}-a{e}^{-1\mathrm{/}a}+e^{-1\mathrm{/}a}=-a{e}^{-1\mathrm{/}a}$$ である。また接線条件から、上端の値は $a^2$ である。したがって $S(a)=a^2+a{e}^{-1\mathrm{/}a}$ である。

(2)

(1) より $${\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}=1+{\displaystyle \frac{e^{-1\mathrm{/}a}}{a}}$$ である。$u=1\mathrm{/}a$ とおくと、$a>0$ より $u>0$ であり、最大化すべき部分は $u{e}^{-u}$ である。

微分すると $${\displaystyle \frac{d}{du}}(u{e}^{-u})=e^{-u}(1-u)$$ である。よって $0<u<1$ で増加し、$u>1$ で減少するから、最大は $u=1$ のときである。このとき $u{e}^{-u}={\displaystyle \frac{1}{e}}$ である。

したがって求める最大値は $1+{\displaystyle \frac{1}{e}}$ である。

対数曲線・接線・面積

接線条件を $x_{0}f(x_0)-a{x}_0$ の形に直し、
面積を与える原始関数の上端値としてそのまま読む。
最大化は $\log u-u$ の接線不等式で行う。

(1)

$x$ 軸との交点を $r=e^{-1\mathrm{/}a}$ とする。接点
$(x_0,f(x_0))$ における接線が $(-a,0)$ を通るから$$f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x_0+a)={\displaystyle \frac{a}{x_0}}(x_0+a)\mathrm{.}$$従って$$x_{0}f(x_0)-a{x}_0=a^2\mathrm{.}$$一方、$$F(x)=ax\log x-ax+x$$とおけば $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ であり$$F(x)=xf(x)-ax\mathrm{.}$$よって接線条件から $F(x_0)=a^2$ である。また
$f(r)=0$ だから$$F(r)=-ar=-a{e}^{-1\mathrm{/}a}\mathrm{.}$$したがって$$S(a)=F(x_0)-F(r)=a^2+a{e}^{-1\mathrm{/}a}\mathrm{.}$$(2)

$u=1\mathrm{/}a>0$ とおくと$${\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}=1+u{e}^{-u}\mathrm{.}$$$\log u$ は上に凹であり、$u=1$ における接線から$$\log u\leqq u-1$$を得る。従って$$\log (u{e}^{-u})=\log u-u\leqq -1,$$すなわち $u{e}^{-u}\leqq e^{-1}$ である。等号は $u=1$、
つまり $a=1$ のときに成立するので、最大値は$$1+{\displaystyle \frac{1}{e}}\mathrm{.}$$