大阪大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $F(x)=e^{nx}-1-nx$ とおく。$x\geqq 0$において $F^{\mathrm{\prime }}(x)=n(e^{nx}-1)$ である。$n$は自然数で，$x\geqq 0$なら$e^{nx}\geqq 1$だから $F^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。したがって$F(x)$は$x\geqq 0$で増加する。また $F(0)=0$ なので $F(x)\geqq 0$ である。よって $${\displaystyle e^{nx}-1\geqq nx(x\geqq 0)}$$ が成り立つ。

(2)
交点$(p_n,q_n)$は第1象限にあるので $p_n>0,q_n>0$ であり，曲線上にあることから $q_n=e^{n{p}_n}-1$ である。(1)を$x=p_n$に用いると $$q_n=e^{n{p}_n}-1\geqq n{p}_n$$ である。一方，円$x^2+y^2=1$上の点なので $q_n\leqq 1$ である。したがって $$0<p_n\leqq {\displaystyle \frac{q_n}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$$ となる。はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n=0$$ である。

(3)
円の方程式より $p_n^2+q_n^2=1$ であり，$q_n>0$だから $$q_n=\sqrt{1-p_n^2}$$ である。(2)より$p_n\to 0$なので $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_n=1$$ である。

また，曲線上にあることから $e^{n{p}_n}=1+q_n$ である。両辺は正なので対数を取ると $n{p}_n=\log (1+q_n)$ となる。$q_n\to 1$より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{p}_n=\log 2$$ である。

(4)
長方形の面積は $S_n=p_n{q}_n$ である。また，曲線と$x$軸，直線$x=p_n$で囲まれた図形の面積は $$T_n={\int }_0^{p_n}(e^{nx}-1)dx$$ である。積分すると $$T_n={[{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{nx}-x]}_0^{p_n}={\displaystyle \frac{e^{n{p}_n}-1}{n}}-p_n$$ であり，$e^{n{p}_n}-1=q_n$だから $$T_n={\displaystyle \frac{q_n}{n}}-p_n$$ となる。したがって $${\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}={\displaystyle \frac{q_n\mathrm{/}n-p_n}{p_n{q}_n}}={\displaystyle \frac{1}{n{p}_n}}-{\displaystyle \frac{1}{q_n}}$$ である。

(3) より$n{p}_n\to \log 2$，$q_n\to 1$だから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}={\displaystyle \frac{1}{\log 2}}-1$$ である。よって ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\log 2}}-1}$ を得る。

$u_n=n{p}_n$ と尺度変換すると、交点条件は $u_n^2\mathrm{/}{n}^2+(e^{u_n}-1{)}^2=1$ となる。この一式から $u_n$ の有界性、$u_n\to \log 2$、$q_n\to 1$ をまとめて導く。(1) は積分表示で示し、(4) は $u_n$ を使って面積比を直接整理する。

(1)
$x\geqq 0$ なら$$e^{nx}-1={\int }_0^{nx}{e}^{t}dt\geqq {\int }_0^{nx}1dt=nx$$である。

(2) $$q_n=e^{n{p}_n}-1\geqq n{p}_n$$ かつ、円上なので $q_n\leqq 1$ である。したがって$$0<p_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}},$$ゆえに $p_n\to 0$ である。

(3)
$u_n=n{p}_n$ とおくと $0<u_n\leqq 1$ である。交点条件は$${\displaystyle \frac{u_n^2}{n^2}}+(e^{u_n}-1{)}^2=1.$$第1項は $0$ に収束するから、正の平方根をとって$$e^{u_n}-1⟶1.$$よって$$u_n=n{p}_n⟶\log 2,q_n=e^{u_n}-1⟶1.$$(4)$$S_n=p_n{q}_n={\displaystyle \frac{u_n{q}_n}{n}}$$であり、$$T_n={\int }_0^{p_n}(e^{nx}-1)dx={\displaystyle \frac{q_n}{n}}-p_n={\displaystyle \frac{q_n-u_n}{n}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}={\displaystyle \frac{1}{u_n}}-{\displaystyle \frac{1}{q_n}}⟶{\displaystyle \frac{1}{\log 2}}-1.$$