大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $A=2^a,B=2^b$ とおく。$a,b\geqq 0$ であるから $A\geqq 1,B\geqq 1$ である。示すべき不等式は $A+B\leqq 1+AB$ であり、右辺から左辺を引くと $1+AB-A-B=(A-1)(B-1)$ である。ここで $A-1\geqq 0$, $B-1\geqq 0$ なので $(A-1)(B-1)\geqq 0$ である。したがって $2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b}$ が成り立つ。

また、等号成立は $A=1$ または $B=1$、すなわち $a=0$ または $b=0$ のときである。

(2)
(1) より、$x,y\geqq 0$ に対して $2^x+2^y\leqq 1+2^{x+y}$ が成り立つ。これをまず $a,b$ に、次に $a+b,c$ に用いると $$2^a+2^b+2^c\leqq 1+2^{a+b}+2^c$$ かつ $$2^{a+b}+2^c\leqq 1+2^{a+b+c}$$ であるから、$a+b+c=3$ より $$2^a+2^b+2^c\leqq 2+2^3=10$$ となる。

次に等号条件を調べる。第一段階の等号は $a=0$ または $b=0$ のときであり、第二段階の等号は $a+b=0$ または $c=0$ のときである。 $a+b=0$ のとき、$a,b\geqq 0$ より $a=b=0$ で、$c=3$ となる。$c=0$ のときは $a+b=3$ で、さらに第一段階の等号条件から $a=0$ または $b=0$ である。したがって $$(a,b,c)=(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)$$ である。これらはいずれも実際に和を $10$ にする。よって最大値は ${\displaystyle 10}$ で、最大値を与える組は ${\displaystyle (3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)}$ である。

$x=2^a,y=2^b,z=2^c$ とおく。(1)は積との差を因数分解する。
(2)は $xyz=8$ のもとで $xyz+2-(x+y+z)$ を
$x-1,y-1,z-1$ の非負な積の和に分解し、等号条件まで一度に決める。

(1) $$1+2^{a+b}-2^a-2^b=(2^a-1)(2^b-1)\mathrm{.}$$$a,b\geqq 0$ だから右辺は非負であり、$$2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b}\mathrm{.}$$等号は $a=0$ または $b=0$ のときに限る。

(2) $$x=2^a,y=2^b,z=2^c$$とおくと $x,y,z\geqq 1$ かつ $xyz=8$ である。恒等式$$\begin{array}{rl}{\displaystyle xyz+2-(x+y+z)}& {\displaystyle =(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(z-1)(x-1)+(x-1)(y-1)(z-1)}\end{array}$$の右辺は非負なので$$x+y+z\leqq xyz+2=10.$$等号のためには、$x-1,y-1,z-1$ のうち高々1個だけが正でなければならない。
$xyz=8>1$ だから正のものはちょうど1個である。よって$$(x,y,z)=(8,1,1),(1,8,1),(1,1,8)\mathrm{.}$$したがって最大値は$$10$$で、これを与える組は$$(a,b,c)=(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)$$である。