大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

三角形 $OAB$ について$$OA=2,OB=4,AB=2\sqrt{3},[OAB]=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって内接円の半径は$$\rho ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}=\sqrt{3}-1,$$内心 $I$ は次の点である。$$I=(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,0)$$球の中心を $C=(h,k,t)$、半径を $R$ とすると$$h=3-\sqrt{3},k=\sqrt{3}-1.$$球は $yz$ 平面、すなわち $x=0$ に接するから$$R=\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }=3-\sqrt{3}\mathrm{.}$$さらに切り口半径が $\rho$ なので$$R^2=t^2+{\rho }^2\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t^2}& {\displaystyle =(3-\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8-4\sqrt{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$C=(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,\pm (\sqrt{6}-\sqrt{2})),R=3-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

三辺までの距離を用いて切り口の円を決定し、その円が球の方程式を $z=0$ としたものに一致する条件と、$x=0$ への接触条件を連立する。

切り口の円の中心を $(h,k,0)$、半径を $\rho$ とする。三角形の三辺は$$y=0,\sqrt{3}x-y=0,x+\sqrt{3}y-4=0.$$各辺までの距離が $\rho$ であることから$$k=\rho ,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}h-k}{2}}=k,{\displaystyle \frac{4-h-\sqrt{3}k}{2}}=k\mathrm{.}$$これを解いて$$h=3-\sqrt{3},k=\rho =\sqrt{3}-1$$を得る。

球を$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2+(z-t{)}^2=R^2$$と表す。$yz$ 平面 $x=0$ に接することから$$R=h=3-\sqrt{3}\mathrm{.}$$また $z=0$ とおいた切り口の半径が $\rho$ なので$$R^2-t^2={\rho }^2\mathrm{.}$$したがって$$t^2=(3-\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}-1{)}^2=(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2\mathrm{.}$$ゆえに$$C=(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,\pm (\sqrt{6}-\sqrt{2})),R=3-\sqrt{3}\mathrm{.}$$