大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
仮定を二乗すると$$n\leqq {\displaystyle \frac{m^2}{4}}<n+1,$$したがって$$0\leqq m^2-4n<4.$$平方数を4で割った余りは0または1なので、この範囲にある $m^2-4n$ は$$m^2-4n=0\text{ または }1$$である。

(2)
まず $m^2-4n=0$ のとき、$m=2r$、$n=r^2$ と書ける。よって$$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}=r+\sqrt{r^2+1}\mathrm{.}$$$$r<\sqrt{r^2+1}<r+1$$ だから$$m<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<m+1.$$次に $m^2-4n=1$ のとき、$m$ は奇数である。$n>0$ より $m\geqq 3$ であり$$n={\displaystyle \frac{m^2-1}{4}},n+1={\displaystyle \frac{m^2+3}{4}}\mathrm{.}$$下側は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m^2+1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(m^2-1)(m^2+3)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >{\displaystyle \frac{m^2+1}{2}}+{\displaystyle \frac{m^2-1}{2}}=m^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}>m$$ である。また$$\sqrt{n}<{\displaystyle \frac{m}{2}},\sqrt{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{m^2+3}<{\displaystyle \frac{m+1}{2}},$$である。最後の不等式は $m\geqq 3$ から $m^2+3<(m+1{)}^2$ による。したがって$$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<m+{\displaystyle \frac{1}{2}}<m+1.$$以上より$$m<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<m+1\mathrm{.}$$$$S=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$$ の平方は非常に狭い区間に入る

(1) を得た後、$S=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ の平方を $4n+1$ と $4n+2$ の間に挟み、$m^2$ と $(m+1{)}^2$ を比較する。

(1) $$n\leqq {\displaystyle \frac{m^2}{4}}<n+1$$より $0\leqq m^2-4n<4$ である。さらに $m^2$ の4による剰余は0または1だから$$m^2-4n\in \{0,1\}\mathrm{.}$$(2)$$S=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$$とおく。正の整数 $n$ について$$2n<2\sqrt{n(n+1)}<2n+1$$が成り立つ。右側は、両辺が正であり$$(2n+1{)}^2-4n(n+1)=1>0$$だからである。したがって$$4n+1<S^2<4n+2.$$(1) より $m^2=4n$ または $4n+1$ なので$$m^2<S^2\mathrm{.}$$また$$S^2<4n+2\leqq m^2+2<(m+1{)}^2\mathrm{.}$$ここで最後の不等式には $m\geqq 2$ を用いた。これは $n>0$ と仮定から従う。すべて正であるから平方根を取り$$m<S<m+1\mathrm{.}$$