大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
元の直線を$$(x,y)=(t,1-2t)$$と表す。像を $(X,Y)$ とすると$$X=b+2(a-b)t,Y=1+3(ab-1)t\mathrm{.}$$$a\mathrm{\ne }b$ より$$t={\displaystyle \frac{X-b}{2(a-b)}}\mathrm{.}$$したがって像の直線は$$2(a-b)(y-1)=3(ab-1)(x-b)\mathrm{.}$$(2)
この直線は常に $(b,1)$ を通り、傾きは$${\displaystyle \frac{3(ab-1)}{2(a-b)}}$$である。これが $a$ によらないためには、ある定数 $K$ によって$$ab-1=K(a-b)$$が恒等的に成り立つ必要がある。$a$ の係数と定数項を比べると$$K=b,-1=-Kb,$$よって $b^2=1$ である。

実際、$b=1$ なら$$y-1={\displaystyle \frac{3}{2}}(x-1),$$$b=-1$ なら$$y-1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x+1),$$となり、いずれも $a$ によらない。したがって$$b=\pm 1\mathrm{.}$$$b=\pm 1$ では像の通過点と方向がともに固定される

元の直線上の点 $(0,1)$ と方向 $(1,-2)$ をそれぞれ変換する。像の直線は得られた点を通り、得られた方向に平行である。

(1)
直線 $2x+y=1$ は点 $(0,1)$ を通り、方向は $(1,-2)$ である。これらの像はそれぞれ$$\left(\begin{array}{cc}2a& b\\ 3ab-1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ 1\end{array}\right)$$および$$\left(\begin{array}{cc}2a& b\\ 3ab-1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2(a-b)\\ 3(ab-1)\end{array}\right)$$である。よって像は $(b,1)$ を通り、この方向に平行だから$$2(a-b)(y-1)=3(ab-1)(x-b)\mathrm{.}$$(2)
方向の傾きが $a$ によらないことが必要である。$b=1$ なら$$(2(a-b),3(ab-1))=(a-1)(2,3),$$$b=-1$ なら$$(2(a-b),3(ab-1))=(a+1)(2,-3)\mathrm{.}$$したがって、この2値では像の方向が固定される。

逆に傾き$$R(a)={\displaystyle \frac{ab-1}{a-b}}$$が一定なら、異なる2つの $a$ の値を代入して差を取ることにより $b^2=1$ が従う。よって必要十分な値は$$b=1,-1\mathrm{.}$$