大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)=x(x^2-10x+k)$ である。$k>0$ なので $x=0$ は単純な解である。残りの2解は $x^2-10x+k=0$ の解である。

この2解を $5-s,5+s$ とおくと、解と係数の関係から $(5-s)+(5+s)=10$ であり、また $(5-s)(5+s)=25-s^2=k$ である。したがって $$s=\sqrt{25-k}$$ と見てよい。

方程式 $f(x)=0$ が3個の実数解をもつには、2次方程式が相異なる実数解をもち、しかも $0$ と重ならないことが必要である。$k>0$ のもとでは $0<k<25$ なら $0<5-s<5+s$ となり、3解は $0,5-s,5+s$ である。

これらが互いに1以上離れている条件は $(5-s)-0\geqq 1,(5+s)-(5-s)\geqq 1$ である。すなわち $5-s\geqq 1,2s\geqq 1$ であり、$${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s\leqq 4$$ を得る。$k=25-s^2$ だから $$25-4^2\leqq k\leqq 25-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2$$ となる。よって求める条件は $$9\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{99}{4}}$$ である。

(2)

曲線 $y=f(x)$ が $x$ 軸に接することは、$f(x)=0$ が重解をもつことを意味する。$k>0$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(0)=k\mathrm{\ne }0$ であり、$x=0$ は重解ではない。したがって $x^2-10x+k=0$ が重解をもつ場合だけを考えればよい。

判別式を0とおくと $(-10{)}^2-4k=0$ より $k=25$ である。このとき $f(x)=x(x-5{)}^2$ であり、$0<x<5$ では $f(x)>0$ である。したがって、曲線と $x$ 軸で囲まれる部分は $0\leqq x\leqq 5$ にあり、その面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{5}x(x-5{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^5(x^3-10x^2+25x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{10x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{25x^2}{2}}]}_0^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{625}{4}}-{\displaystyle \frac{1250}{3}}+{\displaystyle \frac{625}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{625}{12}}}\end{array}$$である。

よって $$k=25,S={\displaystyle \frac{625}{12}}$$ である。

3根の配置は次のようになる。

(1) は2次式の根を根の公式で直接表し、0との距離と2根間の距離を不等式にする。(2)は接点の座標を $r$ とし、$f(r)=f^{\mathrm{\prime }}(r)=0$ を連立して重解を直接決定する。

(1) $$f(x)=x(x^2-10x+k)$$であり、2次式の根は$$\alpha =5-\sqrt{25-k},\beta =5+\sqrt{25-k}$$である。3個の実数解をもつには $0<k<25$ が必要で、このとき$$0<\alpha <\beta$$となる。

3根が互いに1以上離れる条件は$$\alpha \geqq 1,\beta -\alpha \geqq 1$$である。したがって$$5-\sqrt{25-k}\geqq 1,2\sqrt{25-k}\geqq 1.$$前者から $k\geqq 9$、後者から $k\leqq 99\mathrm{/}4$ を得る。よって$$9\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{99}{4}}$$である。

(2) 接点の $x$ 座標を $r$ とする。$k>0$ より $f^{\mathrm{\prime }}(0)=k\mathrm{\ne }0$ だから $r\mathrm{\ne }0$ である。そこで$$f(r)=0,f^{\mathrm{\prime }}(r)=0$$を用いると$$r^2-10r+k=0,3r^2-20r+k=0.$$両式の差から$$2r^2-10r=2r(r-5)=0$$となり、$r=5$ である。これを戻して $k=25$ を得る。このとき$$f(x)=x(x-5{)}^2$$だから、囲まれた部分の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{5}x(x-5{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{10x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{25x^2}{2}}]}_0^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{625}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $k=25$ である。