大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $f(x)$ が0でない整式であると仮定する。その次数を $d$ とすれば、方程式 $f(x)=0$ の実数解は高々 $d$ 個である。

一方、条件より $a_1<a_2<a_3<\cdots$ であり、$a_k$ は互いに異なる。さらにすべての $k$ について $f(a_k)=0$ であるから、$f(x)=0$ は無限に多くの実数解をもつことになる。これは0でない整式について不可能である。したがって $f(x)$ は整式として0である。

(2)
まず、任意の正の整数 $k$ について $x=k\pi$ を代入する。このとき $$\sin k\pi =0,\sin 2k\pi =0$$ であるから $f_1(k\pi )=0$ である。数列 $k\pi$ は単調に増加し、限りなく大きくなるので、(1) より $f_1(x)=0$ が整式として成り立つ。

したがって、すべての実数 $x$ について $$f_2(x)\sin x+f_3(x)\sin 2x=0$$ である。$\sin 2x=2\sin x\cos x$ より、$\sin x\mathrm{\ne }0$ のとき $f_2(x)+2f_3(x)\cos x=0$ である。

次に $$x=2k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}(k=0,1,2,\dots )$$ を代入する。このとき $\sin x\mathrm{\ne }0$、$$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であるから $f_2(x)+f_3(x)=0$ が無限に多くの $x$ で成り立つ。したがって (1) より $f_2(x)+f_3(x)=0$ が整式として成り立つ。

また $$x=2k\pi +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}(k=0,1,2,\dots )$$ を代入すると、$\sin x\mathrm{\ne }0$、$$\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であるから $f_2(x)-f_3(x)=0$ が無限に多くの $x$ で成り立つ。再び (1) より $f_2(x)-f_3(x)=0$ が整式として成り立つ。

2つの恒等式 $$f_2+f_3=0,f_2-f_3=0$$ を加減すれば $$f_2(x)=0,f_3(x)=0$$ である。よって $f_1(x),f_2(x),f_3(x)$ はいずれも整式として0である。

(1) の結論を用い、まず $x=k\pi$ で $f_1$ を消す。次に $\sin 2x=0$ かつ $\sin x\text{neqq}0$ となる無限列で $f_2$ を消し、最後に $\sin 2x\text{neqq}0$ となる無限列で $f_3$ を消す。

(1)
0でない $d$ 次整式がもつ相異なる実数解は高々 $d$ 個である。ところが $a_1<a_2<\cdots$ なので $a_k$ は相異なり、$f(a_k)=0$ は無限個の根を与える。したがって $f$ は零整式である。

(2)
すべての整数 $k\geqq 1$ について $x=k\pi$ を代入すると$$f_1(k\pi )=0.$$$k\pi$ は狭義増加して無限大へ向かうから、(1) より$$f_1(x)\equiv 0.$$次に$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi (k=0,1,2,\dots )$$とおく。このとき $\sin x=1$、$\sin 2x=0$ なので$$f_2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi )=0.$$再び (1) より$$f_2(x)\equiv 0.$$最後に$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi (k=0,1,2,\dots )$$とおくと $\sin 2x=1$ である。残った恒等式$$f_3(x)\sin 2x=0$$から、この無限列上で $f_3(x)=0$ となる。(1) より$$f_3(x)\equiv 0.$$よって3つの整式はいずれも零整式である。