大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

3つの異なる実数解を $r,s,t$ とおく。解と係数の関係より $$r+s+t=-a,rs+st+tr=b$$ である。仮定 $a>0$, $b>0$ から $$r+s+t<0,rs+st+tr>0$$ である。

負の解が1つもないとすると、3つの解はすべて0以上である。このとき $r+s+t\geqq 0$ となり、$r+s+t<0$ に反する。したがって負の解は少なくとも1つ存在する。

次に、負の解がちょうど1つであると仮定する。解の順序を入れ替えて $$r=-u,s=v,t=w$$ と書ける。ただし $$u>0,v\geqq 0,w\geqq 0$$ である。ここで $v=0$ または $w=0$ なら $rs+st+tr=-u(v+w)\leqq 0$ となり、$b>0$ に反する。従って実際には $v>0,w>0$ である。

和について $r+s+t=-u+v+w<0$ だから $u>v+w$ である。一方、2次の対称和について $$rs+st+tr=(-u)v+vw+(-u)w=vw-u(v+w)$$ である。これが正であるから $vw>u(v+w)$ が必要である。

しかし $u>v+w$ より $u(v+w)>(v+w{)}^2$ であり、さらに $(v+w{)}^2=v^2+2vw+w^2>vw$ である。したがって $u(v+w)>vw$ となり、$vw>u(v+w)$ と矛盾する。

よって負の解がちょうど1つであることも不可能である。以上より、負の実数解は $\text{少なくとも2つ}$ 存在する。

3つの実根の間には、Rolleの定理により導関数の2根が1つずつ存在する。
導関数は $3x^2+2ax+b$ であり、$a,b>0$ からその2根の和は負、積は正である。
したがって2つの停留点はともに負であり、根の交互配置から元の方程式の小さい2根も負になる。

3次式を $F(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ とし、異なる3実根を$$r_1<r_2<r_3$$とする。Rolleの定理により、$F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は
$(r_1,r_2)$ と $(r_2,r_3)$ に少なくとも1根ずつもつ。
$F^{\mathrm{\prime }}$ は2次式なので、その2根を $u_1<u_2$ とすれば$$r_1<u_1<r_2<u_2<r_3\mathrm{.}$$一方$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b\mathrm{.}$$解と係数の関係より$$u_1+u_2=-{\displaystyle \frac{2a}{3}}<0,u_1{u}_2={\displaystyle \frac{b}{3}}>0.$$積が正なので2根は同符号、和が負なので $u_1,u_2<0$ である。
したがって $r_1<u_1<0$ かつ $r_2<u_2<0$ であり、
$r_1,r_2$ の少なくとも2根が負である。