大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

求める余りを$$R(x)=px+q$$と置く。$f(x)-R(x)$ は $(x-1)(x-2)$ で割り切れるから$$R(1)=f(1),R(2)=f(2)$$である。

$f(x)$ を $(x-1{)}^3$ で割った条件より$$f(1)=a+b+c$$であり、$x-2$ で割った余りが $d$ であることから$$f(2)=d$$である。従って$$p+q=a+b+c,2p+q=d\mathrm{.}$$これを解くと$$p=d-a-b-c,q=2(a+b+c)-d\mathrm{.}$$よって求める余りは$$(d-a-b-c)x+2(a+b+c)-d$$である。

一次式は二点での値によって一意に決まる。$x=1$ で1、$x=2$ で0になる式と、その逆の値をとる式を組み合わせる。

条件から$$f(1)=a+b+c,f(2)=d$$である。

$2-x$ は $x=1,2$ でそれぞれ $1,0$ をとり、$x-1$ はそれぞれ $0,1$ をとる。そこで$$R(x)=(a+b+c)(2-x)+d(x-1)$$と置けば$$R(1)=f(1),R(2)=f(2)$$を満たす。

従って $f(x)-R(x)$ は $x=1,2$ を零点にもつので、$(x-1)(x-2)$ で割り切れる。$R$ は一次式だから、これが求める余りである。展開して$$R(x)=(d-a-b-c)x+2(a+b+c)-d$$を得る。