大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$f(x)$ の各項を、次数を $3$ で割った余りによって分ける。すると、ある多項式 $g,h,k$ を用いて $$f(x)=g(x^3)+xh(x^3)+x^{2}k(x^3)$$ と表せる。これは、たとえば $x^{3q}$, $x^{3q+1}$, $x^{3q+2}$ の3種類に項を集めたものである。

任意の実数 $a$ を固定する。$x^3-a^3$ で割った余りを考えると、割り算の余りの世界では $x^3\equiv a^3$ と見てよい。したがって$$g(x^3)\equiv g(a^3),h(x^3)\equiv h(a^3),k(x^3)\equiv k(a^3)$$である。
よって $f(x)-f(a)$ の余りは $h(a^3)(x-a)+k(a^3)(x^2-a^2)$ である。

仮定より、$f(x)-f(a)$ は常に $x^3-a^3$ で割り切れる。したがって上の余りは、$x$ の多項式として零多項式でなければならない。すなわち $h(a^3)(x-a)+k(a^3)(x^2-a^2)\equiv 0$ である。ここで $x^2$ の係数を見ると $k(a^3)=0$ であり、次に $x$ の係数を見ると $h(a^3)=0$ である。

これは任意の実数 $a$ について成り立つ。実数 $a^3$ は全ての実数値をとるので、$h(X)\equiv 0,k(X)\equiv 0$ である。したがって $f(x)=g(x^3)$ と表される。
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$1+\omega +{\omega }^2=0$ を満たす1の虚数三乗根 $\omega$ を用いる。
$x^3-a^3$ の根 $a\omega ,a{\omega }^2$ を代入すると
$f(a\omega )=f(a{\omega }^2)=f(a)$ である。次数を3で割った余りごとの三成分へ
$f$ を分け、この二つの等式から余り1・2の成分がともに零であることを示す。

$1+\omega +{\omega }^2=0$, ${\omega }^3=1$, $\omega \mathrm{\ne }1$ を満たす
複素数 $\omega$ を取る。仮定の割り切れるという関係は複素数を代入しても成り立つ。
$a\mathrm{\ne }0$ を固定すると、$a\omega$ と $a{\omega }^2$ は
$x^3-a^3$ の根だから$$f(a\omega )=f(a),f(a{\omega }^2)=f(a)$$である。

$f$ の項を次数を3で割った余りごとに集め、$$f(x)=g(x^3)+xh(x^3)+x^{2}k(x^3)$$と書く。$B=ah(a^3)$, $C=a^{2}k(a^3)$ とおけば、上の二式は$$(\omega -1)B+({\omega }^2-1)C=0,$$$$({\omega }^2-1)B+(\omega -1)C=0$$となる。二式を引くと$$(\omega -{\omega }^2)(B-C)=0$$であり、$\omega \mathrm{\ne }{\omega }^2$ だから $B=C$ である。これを最初の式へ戻すと$$(\omega +{\omega }^2-2)B=-3B=0$$なので $B=C=0$ となる。$a\mathrm{\ne }0$ より
$h(a^3)=k(a^3)=0$ である。

$a$ は零でない任意の実数であるから、$h$ と $k$ は無限個の実数を根に持つ。
よって両者は零多項式であり、$$f(x)=g(x^3)$$と表される。