大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

まず$$x_2={\displaystyle \frac{2^2+5}{2\cdot 2}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$$である。$(9\mathrm{/}4{)}^2>5$ と $\sqrt{5}>2$ より$$0<x_2-\sqrt{5}<{\displaystyle \frac{9}{4}}-2={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2^2}}\mathrm{.}$$ある $n\geqq 2$ で$$0<x_n-\sqrt{5}<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$が成り立つとする。漸化式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+1}-\sqrt{5}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x_n^2+5-2\sqrt{5}{x}_n}{2x_n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(x_n-\sqrt{5}{)}^2}{2x_n}}\mathrm{.}}\end{array}$$$x_n>\sqrt{5}>2$ なので右辺は正であり、さらに$$0<x_{n+1}-\sqrt{5}<{\displaystyle \frac{(x_n-\sqrt{5}{)}^2}{4}}<{\displaystyle \frac{x_n-\sqrt{5}}{4}}<{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}}<{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}\mathrm{.}$$従って数学的帰納法により$$0<x_n-\sqrt{5}<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}(n\geqq 2)$$が成り立つ。

目標値 $\sqrt{5}$ に対する差と和の比を取る。Newton型の漸化式ではこの比が毎回二乗されるため、二重指数的な減少を直接評価できる。

$$u_n={\displaystyle \frac{x_n-\sqrt{5}}{x_n+\sqrt{5}}}$$と置く。漸化式を用いて分子と分母を整理すると$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{x_n^2+5-2\sqrt{5}{x}_n}{x_n^2+5+2\sqrt{5}{x}_n}}=u_n^2\mathrm{.}$$従って$$u_n=u_1^{2^{n-1}}\mathrm{.}$$また$$\mathrm{\mid }{u}_1\mathrm{\mid }=9-4\sqrt{5}<{\displaystyle \frac{1}{8}}$$である。実際、最後の不等式は $71<32\sqrt{5}$ と同値であり、両辺を平方すれば $5041<5120$ となる。

$n\geqq 2$ では $$0<u_n<8^{-2^{n-1}}\leqq 8^{-n}$$ である。一方、$u_n$ の定義を $x_n-\sqrt{5}$ について解くと$$x_n-\sqrt{5}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}{u}_n}{1-u_n}}\mathrm{.}$$$u_n<1\mathrm{/}64$ より係数は6より小さいから$$0<x_n-\sqrt{5}<6\cdot 2^{-3n}<2^{-n}\mathrm{.}$$ここで最後の不等式には $n\geqq 2$ を用いた。よって主張が示された。