大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $f(x)=x(x^2-10x+k)$ である。2次方程式 $x^2-10x+k=0$ の2根を $5-s,5+s$ とおくと $k=(5-s)(5+s)=25-s^2$ である。 $k>0$ のもとで $f(x)=0$ が3個の実数解をもつには、$0<k<25$、すなわち $0<s<5$ であればよい。このとき3解は $0,5-s,5+s$ である。

これらが互いに1以上離れている条件は $$5-s\geqq 1,(5+s)-(5-s)=2s\geqq 1$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s\leqq 4$$ であり、$k=25-s^2$ より $$9\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{99}{4}}$$ である。

(2) $\alpha =5-s$，$\beta =5+s$ とおく。$1\mathrm{/}2\leqq s\leqq 4$ では $0<\alpha <\beta$ である。また $$f(x)=x(x-\alpha )(x-\beta )$$ なので、$f(x)$ は $0<x<\alpha$ で正、$\alpha <x<\beta$ で負である。

原始関数を $$F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{10x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{25-s^2}{2}}{x}^2$$ とおく。このとき囲まれる図形の総面積 $A(s)$ は$$A(s)={\int }_0^{\alpha }f(x)dx-{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx=2F(\alpha )-F(\beta )$$である。

ここで $\alpha =5-s$，$\beta =5+s$ を代入すると$$F(\alpha )=-{\displaystyle \frac{s^4}{4}}+{\displaystyle \frac{10s^3}{3}}-{\displaystyle \frac{25s^2}{2}}+{\displaystyle \frac{625}{12}},$$$$F(\beta )=-{\displaystyle \frac{s^4}{4}}-{\displaystyle \frac{10s^3}{3}}-{\displaystyle \frac{25s^2}{2}}+{\displaystyle \frac{625}{12}}$$である。よって $$A(s)=-{\displaystyle \frac{s^4}{4}}+10s^3-{\displaystyle \frac{25s^2}{2}}+{\displaystyle \frac{625}{12}}$$ となる。

これを微分すると $$A^{\mathrm{\prime }}(s)=-s^3+30s^2-25s=-s(s^2-30s+25)$$ である。$s>0$ なので、符号を決めるのは $s^2-30s+25$ である。この2次方程式の解は $s=15\pm 10\sqrt{2}$ であり、区間 $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s\leqq 4$$ に入るのは $s=15-10\sqrt{2}$ だけである。 $s=1\mathrm{/}2$ の近くでは $s^2-30s+25>0$ なので $A^{\mathrm{\prime }}(s)<0$、その後 $s=15-10\sqrt{2}$ を過ぎると $A^{\mathrm{\prime }}(s)>0$ となる。したがって面積は $s=15-10\sqrt{2}$ で最小になる。

求める $k$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle k}& {\displaystyle =25-s^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25-(15-10\sqrt{2}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25-(425-300\sqrt{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =300\sqrt{2}-400}\end{array}$$である。よって $k=100(3\sqrt{2}-4)$ である。

3根と符号を図示すると、面積では2つの部分をともに正として加える必要がある。

正の2根を $\alpha <\beta$ とし、$\alpha +\beta =10$ を用いる。正の部分と負の部分の面積をそれぞれ簡単な積の積分で求め、$1\leqq \alpha \leqq 9\mathrm{/}2$ 上の1変数関数として最小化する。

(1) 正の2根を $\alpha <\beta$ とする。解と係数の関係から$$\alpha +\beta =10,\alpha \beta =k\mathrm{.}$$3根 $0,\alpha ,\beta$ の距離条件は$$\alpha \geqq 1,\beta -\alpha \geqq 1.$$よって $1\leqq \alpha \leqq 9\mathrm{/}2$ であり、これは$$9\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{99}{4}}$$と同値である。

(2) $\beta =10-\alpha$ とする。$0<x<\alpha$ では$$f(x)=x(\alpha -x)(\beta -x)>0$$だから、その面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }x(\alpha -x)(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\alpha }^3(2\beta -\alpha )}{12}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^3(20-3\alpha )}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$$\alpha <x<\beta$ では $f(x)<0$ である。$u=x-\alpha$、$$L=\beta -\alpha =10-2\alpha$$ とおくと、その面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_0^L(\alpha +u)u(L-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\alpha L^3}{6}}+{\displaystyle \frac{L^4}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{6}}(10-2\alpha {)}^3\mathrm{.}}\end{array}$$総面積 $S(\alpha )=S_1+S_2$ を微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}(\alpha )}& {\displaystyle ={\alpha }^2(5-\alpha )-5(10-2\alpha {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(5-\alpha )({\alpha }^2+20\alpha -100)\mathrm{.}}\end{array}$$区間 $1\leqq \alpha \leqq 9\mathrm{/}2$ では $5-\alpha >0$ であり、後半の2次式は$$\alpha =10(\sqrt{2}-1)$$で負から正へ変わる。したがってここで面積は最小になる。

このとき$$\beta =10-\alpha =10(2-\sqrt{2})$$なので$$k=\alpha \beta =100(3\sqrt{2}-4)$$である。