大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

交点 $A$ の $y$ 座標を $h>0$ と置くと、$A=(h^2,h)$ である。直線の式へ代入して$$h=a(h^2-1)-1$$より$$a(h-1)=1,h=1+{\displaystyle \frac{1}{a}}>1.$$直線と $x$ 軸の交点も $(h,0)$ であり、直線は $y=a(x-h)$ と書ける。

従って$$V_2=\pi {\int }_h^{h^2}{a}^2(x-h{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{\pi a^2(h^2-h{)}^3}{3}}\mathrm{.}$$一方、曲線 $$y=\sqrt{x}$$ の下を回転した全体積は$$\pi {\int }_0^{h^2}xdx={\displaystyle \frac{\pi h^4}{2}}$$なので$$V_1={\displaystyle \frac{\pi h^4}{2}}-V_2\mathrm{.}$$$V_1=V_2$ と $a=1\mathrm{/}(h-1)$ を用いると$${\displaystyle \frac{h^4}{2}}={\displaystyle \frac{2h^3(h-1)}{3}}\mathrm{.}$$$h>0$ だから $3h=4(h-1)$、従って $h=4$ である。ゆえに$$a={\displaystyle \frac{1}{h-1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$

同じ $h$ を用い、直線を $x=h+(h-1)y$ と書く。$x$ 軸のまわりの円筒殻として $V_1,V_2$ を高さ $y$ で積分する。

解法1と同様に交点を $A=(h^2,h)$ と置けば$$a(h-1)=1,h>1.$$直線 $y=a(x-h)$ を $x$ について解くと$$x=h+(h-1)y$$である。

高さ $y$ の水平線で見ると、$V_1$ を作る領域の横幅は$$h+(h-1)y-y^2=(h-y)(y+1),$$$V_2$ を作る領域の横幅は$$h^2-\{h+(h-1)y\}=(h-1)(h-y)$$である。円筒殻を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_1}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{h}y(h-y)(y+1)dy={\displaystyle \frac{\pi h^3(h+2)}{6}},}\\ {\displaystyle V_2}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{h}y(h-1)(h-y)dy={\displaystyle \frac{\pi h^3(h-1)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$V_1=V_2$ より$$h+2=2(h-1),$$従って $h=4$ である。ゆえに$$a={\displaystyle \frac{1}{h-1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$