大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$A+B$、$A-B$ が逆行列をもたないから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2-(b+1)(c+1)}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle a^2-(b-1)(c-1)}& {\displaystyle =0.}\end{array}$$二式を差し引くと$$2(b+c)=0,c=-b\mathrm{.}$$これを一つ目の式へ代入すれば$$a^2-(b+1)(1-b)=0,a^2+b^2=1.$$従って、ある実数 $\varphi$ を用いて$$a=\cos \varphi ,b=-\sin \varphi ,c=\sin \varphi$$と表せる。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right),$$これは原点を中心とする角 $\varphi$ の回転を表す。

特異条件から係数関係を得た後、任意のベクトルの長さと向きが保たれることを座標計算で示して、幾何的に回転と判定する。

逆行列をもたない条件は$$(b+1)(c+1)=(b-1)(c-1)=a^2$$である。左右を比較して $b+c=0$、従って $c=-b$ を得る。さらに$$a^2=(b+1)(1-b)=1-b^2$$だから $a^2+b^2=1$ である。

任意の点 $(x,y)$ は $A$ により$$(x,y)⟼(ax+by,-bx+ay)$$へ移る。その原点からの距離の平方は$$(ax+by{)}^2+(-bx+ay{)}^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=x^2+y^2\mathrm{.}$$従って原点からの距離を保つ。また $A$ の二列 $(a,-b)$、$(b,a)$ は長さ1で互いに直交し、向きは$$a^2+b^2=1>0$$なので反転しない。よってこの変換は原点中心の回転である。