大阪大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$y=x^a\log x$ とおく。微分すると $$y^{\mathrm{\prime }}=a{x}^{a-1}\log x+x^{a-1}=x^{a-1}(a\log x+1)$$ である。

点 $P=(t,t^a\log t)$ における接線の傾きは $t^{a-1}(a\log t+1)$ である。接線が $x$ 軸と交わる点を $Q=(q,0)$ とすると、接線の傾きから $$0-t^a\log t=t^{a-1}(a\log t+1)(q-t)$$ である。したがって $$t-q=\frac{t\log t}{a\log t+1}$$ である。

三角形 $PQR$ は、底辺 $RQ=t-q$、高さ $PR=t^a\log t$ の直角三角形である。よって $$S_1(t)=\frac{1}{2}(t-q)t^a\log t=\frac{t^{a+1}(\log t{)}^2}{2(a\log t+1)}$$ である。

次に $$S_2(t)={\int }_1^t{x}^a\log xdx$$ である。部分積分により $$\int x^a\log xdx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\log x-\frac{x^{a+1}}{(a+1{)}^2}$$ だから$$S_2(t)=t^{a+1}(\frac{\log t}{a+1}-\frac{1}{(a+1{)}^2})+\frac{1}{(a+1{)}^2}$$である。

したがって$$\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{2(a\log t+1)}{t^{a+1}(\log t{)}^2}\{t^{a+1}(\frac{\log t}{a+1}-\frac{1}{(a+1{)}^2})+\frac{1}{(a+1{)}^2}\}$$である。$t\to +\mathrm{\infty }$ のとき、主要な部分は$$S_2(t)\sim \frac{t^{a+1}\log t}{a+1},S_1(t)\sim \frac{t^{a+1}\log t}{2a}$$である。ここで $a>0$ である。よって $$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{2a}{a+1}$$ である。