大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
公比を $r$ とおく。各項は自然数であるから $r$ は正の有理数であるが、以下の恒等式はそのまま使える。 $$S=a_1(1+r+r^2+r^3+r^4),S^{\mathrm{\prime }}=a_1(1-r+r^2-r^3+r^4)$$ また $$(1+r+r^2+r^3+r^4)(1-r+r^2-r^3+r^4)=1+r^2+r^4+r^6+r^8$$ である。したがって $$S{S}^{\mathrm{\prime }}=a_1^2(1+r^2+r^4+r^6+r^8)=T$$ を得る。ここで $S$ と $S^{\mathrm{\prime }}$ はどちらも整数で、$S>0$ である。よって $T$ は整数 $S$ で割り切れ、その商は $S^{\mathrm{\prime }}$ である。

(2)
(1)より $T=S{S}^{\mathrm{\prime }}$ である。5項はいずれも自然数なので $$S=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\geqq 5$$ であり、$T$ が素数なら、正の整数の積の分解 $T=S{S}^{\mathrm{\prime }}$ において $S^{\mathrm{\prime }}=1$ でなければならない。

公比を既約分数 $$r={\displaystyle \frac{u}{v}}$$ とおく。ただし $u,v$ は互いに素な自然数である。5項すべてが自然数であるため、ある自然数 $c$ を用いて$$a_1=c{v}^4,a_2=cu{v}^3,a_3=c{u}^2{v}^2,a_4=c{u}^{3}v,a_5=c{u}^4$$と表せる。このとき $$S^{\mathrm{\prime }}=cD,D=v^4-u{v}^3+u^2{v}^2-u^{3}v+u^4$$ である。

ここで $D=1$ となる場合を調べる。もし $u>v$ なら $$D=v^4+u^3(u-v)+u{v}^2(u-v)>1$$ である。もし $v>u$ なら $$D=u^4+v^3(v-u)+u^{2}v(v-u)>1$$ である。したがって $D=1$ となるには $u=v$ が必要で、互いに素であることから $u=v=1$ である。さらに $S^{\mathrm{\prime }}=cD=1$ より $c=1$ である。

よって $a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=1$ に限られる。このとき $T=1^2+1^2+1^2+1^2+1^2=5$ であり、これは素数である。したがって求める値は $5$ である。

奇数番目の和を $O$、偶数番目の和を $E$ と置く。等比数列の積の関係から $O^2-E^2=T$ を直接示せば、$S{S}^{\mathrm{\prime }}=T$ が得られる。素数条件では $S^{\mathrm{\prime }}=1$ に絞り、公比を既約分数で表して自然数等比数列の一般形を作る。

(1)
奇数番目と偶数番目の和を$$O=a_1+a_3+a_5,E=a_2+a_4$$と置く。このとき $S=O+E$、$S^{\mathrm{\prime }}=O-E$ である。等比数列では$$a_1{a}_3=a_2^2,a_1{a}_5=a_3^2,a_3{a}_5=a_4^2,a_2{a}_4=a_3^2$$が成り立つ。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S{S}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =O^2-E^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_1^2+a_3^2+a_5^2+2(a_1{a}_3+a_1{a}_5+a_3{a}_5)-a_2^2-a_4^2-2a_2{a}_4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=T\mathrm{.}}\end{array}$$$S^{\mathrm{\prime }}$ は整数であるから、$T$ は $S$ で割り切れ、その商は $S^{\mathrm{\prime }}$ である。

(2)
$T=S{S}^{\mathrm{\prime }}$ かつ $S\geqq 5$ である。$T$ が素数なら $S^{\mathrm{\prime }}=1$ でなければならない。

公比を既約分数 $u\mathrm{/}v$ とする。5項がすべて自然数なので、ある自然数 $c$ を用いて$$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=c(v^4,u{v}^3,u^2{v}^2,u^{3}v,u^4)$$と表せる。よって$$S^{\mathrm{\prime }}=c\{v^4-u{v}^3+u^2{v}^2-u^{3}v+u^4\}=cD$$と置く。$u>v$ なら$$D=v^4+(u-v)(u^3+u{v}^2)>1,$$$v>u$ なら$$D=u^4+(v-u)(v^3+u^{2}v)>1.$$したがって $D=1$ には $u=v$ が必要で、既約性から $u=v=1$ となる。さらに $cD=1$ より $c=1$ である。ゆえに全項が1で、$$T=1^2+1^2+1^2+1^2+1^2=5.$$実際に5は素数なので、求める値は $5$ である。