大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
元の点を $(x,y)$、変換後の点を $(X,Y)$ とする。行列の定める変換より $X=2x,Y=ax+y$ である。$C$ 上では $y=x^2$ だから、$$x={\displaystyle \frac{X}{2}}$$ を代入して$$Y=a\cdot {\displaystyle \frac{X}{2}}+{\left({\displaystyle \frac{X}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{a}{2}}X+{\displaystyle \frac{1}{4}}{X}^2$$となる。したがって、変換後の座標をふたたび $(x,y)$ と書けば $$C^{\mathrm{\prime }}:y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}x$$ である。

(2)
交点は $$x^2={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}x$$ より$${\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{a}{2}}x=0,x({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{a}{2}})=0$$である。したがって $$x=0,x={\displaystyle \frac{2a}{3}}$$ を得る。 $$0<x<{\displaystyle \frac{2a}{3}}$$ では$$({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}x)-x^2={\displaystyle \frac{a}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2=x({\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)>0$$であるから、上側は $C^{\mathrm{\prime }}$、下側は $C$ である。よって囲まれた部分の面積は$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}({\displaystyle \frac{a}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2)dx={[{\displaystyle \frac{a}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3]}_0^{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}$$である。これを計算すると$${\displaystyle \frac{a}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{4a^2}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{8a^3}{27}}={\displaystyle \frac{a^3}{9}}-{\displaystyle \frac{2a^3}{27}}={\displaystyle \frac{a^3}{27}}$$となる。面積が1であるから $${\displaystyle \frac{a^3}{27}}=1$$ であり、$a>0$ より $a=3$ である。

放物線上の点を媒介変数 $t$ で表し、変換後の曲線を求める。2曲線の差を交点間の幅で規格化すると、面積が $a^3$ と一定積分の積になるため、計算の見通しがよい。

(1)
$C$ 上の点を $(t,t^2)$ と置く。与えられた変換によって、この点は$$(X,Y)=(2t,at+t^2)$$へ移る。$t=X\mathrm{/}2$ を代入すれば$$Y={\displaystyle \frac{a}{2}}X+{\displaystyle \frac{1}{4}}{X}^2$$となる。したがって$$C^{\mathrm{\prime }}:y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}x$$である。

(2)
$C$ と $C^{\mathrm{\prime }}$ の高さの差は$$h(x)={\displaystyle \frac{a}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2$$であり、交点の $x$ 座標は $0,2a\mathrm{/}3$ である。ここで$$x={\displaystyle \frac{2a}{3}}u(0\leqq u\leqq 1)$$と置くと$$h(x)={\displaystyle \frac{a^2}{3}}(u-u^2),dx={\displaystyle \frac{2a}{3}}du$$となる。よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2a\mathrm{/}3}h(x)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a^3}{9}}{\int }_0^1(u-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a^3}{9}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{a^3}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが1に等しく、$a>0$ だから $a^3=27$、すなわち $a=3$ である。