大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f(x)=x^2-ax+b$ で割った余りを考えるときは、差が $f(x)$ の倍数であることを $$x^2\equiv ax-b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(x))$$ と表せる。定義より $$x^m\equiv r_{m}x+s_m,x^n\equiv r_{n}x+s_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(x))$$ である。両式を掛けると $$x^{m+n}\equiv (r_{m}x+s_m)(r_{n}x+s_n)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(x))$$ である。右辺を展開して $x^2\equiv ax-b$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (r_{m}x+s_m)(r_{n}x+s_n)}& {\displaystyle =r_m{r}_n{x}^2+(r_m{s}_n+r_n{s}_m)x+s_m{s}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv r_m{r}_n(ax-b)+(r_m{s}_n+r_n{s}_m)x+s_m{s}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(r_m{s}_n+r_n{s}_m+a{r}_m{r}_n)x+(s_m{s}_n-b{r}_m{r}_n)\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$x^{m+n}$ を $f(x)$ で割った余りは定義により $r_{m+n}x+s_{m+n}$ である。2次式で割った余りは一次以下に一意に定まるから、係数を比較して$$r_{m+n}=r_m{s}_n+r_n{s}_m+a{r}_m{r}_n,s_{m+n}=s_m{s}_n-b{r}_m{r}_n$$を得る。

(2) $x^n$ の割り算を明示すると、ある整式 $Q(x)$ を用いて $x^n=Q(x)f(x)+r_{n}x+s_n$ と書ける。この等式で $x$ を $a-x$ に置き換えると $$(a-x{)}^n=Q(a-x)f(a-x)+r_n(a-x)+s_n$$ である。ここで $$f(a-x)=(a-x{)}^2-a(a-x)+b=x^2-ax+b=f(x)$$ だから、右辺の第1項は $f(x)$ の倍数である。したがって $(a-x{)}^n$ を $f(x)$ で割った余りは $$r_n(a-x)+s_n=-r_{n}x+(a{r}_n+s_n)$$ である。余りの一意性より $$t_n=-r_n,u_n=a{r}_n+s_n$$ が成り立つ。

$r_n,s_n$ の一段階漸化式を作り、加法公式を一方の添字に関する帰納法で示す。(2)は余りの一意性で決める。

$x^{n+1}$ の余りは $x(r_{n}x+s_n)$ の余りだから$$r_{n+1}=a{r}_n+s_n,s_{n+1}=-b{r}_n,r_1=1,s_1=0.$$(1)
右辺で定めた加法公式を $n$ について示す。$n=1$ では上の一段階漸化式そのものである。
$n$ で成り立つとし、両式に一段階漸化式を適用すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_{m+n+1}}& {\displaystyle =a(r_m{s}_n+r_n{s}_m+a{r}_m{r}_n)+(s_m{s}_n-b{r}_m{r}_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r_m{s}_{n+1}+r_{n+1}{s}_m+a{r}_m{r}_{n+1},}\\ {\displaystyle s_{m+n+1}}& {\displaystyle =-b(r_m{s}_n+r_n{s}_m+a{r}_m{r}_n)=s_m{s}_{n+1}-b{r}_m{r}_{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$よって帰納法で成立する。

(2)
$f(a-x)=f(x)$ である。$x^n=Q(x)f(x)+r_{n}x+s_n$ の $x$ を $a-x$ に替えると、
$(a-x{)}^n$ の余りは$$r_n(a-x)+s_n=-r_{n}x+(a{r}_n+s_n)\mathrm{.}$$余りの一意性から $t_n=-r_n,u_n=a{r}_n+s_n$ である。