大阪大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

まず $$x_1=r\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{4}$$ である。また $$x_2=r^2\sin 2\theta =2(r\sin \theta )(r\cos \theta )$$ であるから $$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot r\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{8}$$ となる。よって $r\cos \theta =\frac{1}{4}$ である。

したがって$$r^2=(r\sin \theta {)}^2+(r\cos \theta {)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{4}$$である。$r>0$ なので $r=\frac{1}{2}$ である。特に無限和は収束する。 $$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^n\sin n\theta$$ とおく。三角関数の公式 $$\sin n\theta =2\cos \theta \sin (n-1)\theta -\sin (n-2)\theta$$ を用いると、$n\geqq 2$ の部分について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S-r\sin \theta }& {\displaystyle =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{r}^n\sin n\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2r\cos \theta \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{r}^{n-1}\sin (n-1)\theta -r^2\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{r}^{n-2}\sin (n-2)\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2r\cos \theta S-r^{2}S}\end{array}$$である。最後の和では $\sin 0=0$ を用いた。したがって $$S(1-2r\cos \theta +r^2)=r\sin \theta$$ となり、$$S=\frac{r\sin \theta }{1-2r\cos \theta +r^2}$$ である。

ここに$$r\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{4},r\cos \theta =\frac{1}{4},r^2=\frac{1}{4}$$を代入すると$$S=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$である。

別解。$r\sin \theta =\sqrt{3}\mathrm{/}4$, $r\cos \theta =1\mathrm{/}4$ から、$r=1\mathrm{/}2$, $\theta =\pi \mathrm{/}3$ と分かる。したがって $$x_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\sin \frac{n\pi }{3}$$ であり、$\sin (n\pi \mathrm{/}3)$ の周期6を使って6項ずつまとめても同じ和 $\sqrt{3}\mathrm{/}3$ が得られる。