大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
公比を $r$ とする。$n$ は奇数なので、$n=2m+1$ と書ける。ただし $m\geqq 1$ である。

交代和 $$U=a_1(1-r+r^2-\cdots -r^{n-2}+r^{n-1})$$ を考える。これは $$U=a_1-a_2+a_3-\cdots -a_{n-1}+a_n$$ であるから整数である。また$$(1+r+\cdots +r^{n-1})(1-r+r^2-\cdots -r^{n-2}+r^{n-1})=1+r^2+r^4+\cdots +r^{2n-2}$$が成り立つ。したがって $$SU=a_1^2(1+r^2+r^4+\cdots +r^{2n-2})=T$$ である。よって $T$ は整数 $S$ の倍数である。

(2)
(1)より $T=SU$ であり、$S$ と $U$ は正の整数である。実際、$U=T\mathrm{/}S>0$ である。また $n\geqq 3$ で各項が自然数だから $S\geqq 3>1$ である。したがって $T$ が素数なら $U=1$ でなければならない。

公比を既約分数 $$r={\displaystyle \frac{u}{v}}$$ とおく。ただし $u,v$ は互いに素な自然数である。$a_1,a_2,\dots ,a_n$ がすべて自然数であるため、ある自然数 $c$ によって $$a_k=c{u}^{k-1}{v}^{n-k}(k=1,2,\dots ,n)$$ と表せる。したがって $U=c\mathrm{\Phi }(u,v)$ である。ただし $$\mathrm{\Phi }(u,v)=v^{2m}-u{v}^{2m-1}+u^2{v}^{2m-2}-\cdots -u^{2m-1}v+u^{2m}$$ である。 $u>v$ のとき、正の項と負の項を後ろから組にすると $$\mathrm{\Phi }(u,v)=v^{2m}+(u-v)(u^{2m-1}+u^{2m-3}{v}^2+\cdots +u{v}^{2m-2})>1$$ である。$v>u$ のときも同様に $$\mathrm{\Phi }(u,v)=u^{2m}+(v-u)(v^{2m-1}+v^{2m-3}{u}^2+\cdots +v{u}^{2m-2})>1$$ である。したがって $\mathrm{\Phi }(u,v)=1$ となるには $u=v$ が必要で、互いに素であることから $u=v=1$ である。このとき $\mathrm{\Phi }(1,1)=1$ であるから、さらに $U=c\mathrm{\Phi }(u,v)=1$ より $c=1$ である。

以上より、$T$ が素数となるためには $a_1=a_2=\cdots =a_n=1$ が必要である。この場合 $T=1^2+1^2+\cdots +1^2=n$ である。したがって $T$ が素数であるためには、$n$ が素数でなければならない。

逆に、初項が1、公比が1で、$n$ が素数なら、全項が1で $T=n$ となり、これは素数である。

ゆえに必要十分条件は $\text{初項 }1,\text{公比 }1,n\text{ が素数}$ である。問題文で $n$ は3以上の奇数とされているので、この $n$ は奇素数である。

奇数番目の和 $O$ と偶数番目の和 $E$ に分けると、$S=O+E$、交代和 $U=O-E$ となる。$O^2-E^2=T$ を示して倍数性を得た後、既約分数で表した公比から素数となる必要十分条件を決める。

(1)
$n=2m+1$ とし、奇数番目と偶数番目の和を$$O=a_1+a_3+\cdots +a_{2m+1},E=a_2+a_4+\cdots +a_{2m}$$と置く。すると $S=O+E$ であり、$U=O-E$ は整数である。公比を $r$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O}& {\displaystyle =a_1(1+r^2+\cdots +r^{2m}),}\\ {\displaystyle E}& {\displaystyle =a_{1}r(1+r^2+\cdots +r^{2m-2})\mathrm{.}}\end{array}$$これらを展開して同じ次数の項をまとめると$$O^2-E^2=a_1^2(1+r^2+r^4+\cdots +r^{4m})=T\mathrm{.}$$よって $T=(O+E)(O-E)=SU$ であり、$T$ は $S$ の倍数である。

(2)
$S>1$ だから、$T$ が素数なら $U=1$ である。公比を既約分数 $u\mathrm{/}v$ とすれば、ある自然数 $c$ により$$a_k=c{u}^{k-1}{v}^{n-k}(1\leqq k\leqq n)$$と書ける。したがって$$U=c\mathrm{\Phi }(u,v),$$ただし$$\mathrm{\Phi }(u,v)=v^{2m}-u{v}^{2m-1}+\cdots -u^{2m-1}v+u^{2m}\mathrm{.}$$$u>v$ なら負の項を直前の正の項と組にして$$\mathrm{\Phi }(u,v)=v^{2m}+(u-v)(u^{2m-1}+u^{2m-3}{v}^2+\cdots +u{v}^{2m-2})>1.$$$v>u$ の場合も $u,v$ を入れ替えた同じ式から $\mathrm{\Phi }(u,v)>1$ である。ゆえに $U=1$ には $u=v=1$、さらに $c=1$ が必要である。つまり全項が1でなければならない。このとき $T=n$ だから、$T$ が素数であるためには $n$ が素数であることも必要である。

逆に、初項1、公比1、$n$ が素数なら全項が1で $T=n$ は素数となる。したがって必要十分条件は$$\text{初項が1、公比が1、}n\text{ が素数}$$である。