大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $C$ は、点 $A$ までの距離と直線 $l$ までの距離が等しい点の軌跡であるから、焦点を $A$、準線を $l$ とする放物線である。

原点のまわりに点を角 $\theta$ だけ回転し、回転後の座標を $(X,Y)$ とする。この回転により $A(p\sin \theta ,p\cos \theta )$ は $(0,p)$ へ移る。また直線 $$x\sin \theta +y\cos \theta +p=0$$ は $Y+p=0$ すなわち $Y=-p$ へ移る。したがって回転後の曲線は、焦点 $(0,p)$、準線 $Y=-p$ の放物線であるから $X^2=4pY$ である。通常の $(x,y)$ で書けば $x^2=4py$ である。

(2)
回転は面積を変えないので、回転後の図形で面積を求めればよい。もとの $x$ 軸上の点 $(t,0)$ は、回転後 $(t\cos \theta ,t\sin \theta )$ に移る。したがって、回転後の $x$ 軸は $y=x\tan \theta$ である。

放物線は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4p}}$$ であるから、直線との交点は $${\displaystyle \frac{x^2}{4p}}=x\tan \theta$$ より $$x=0,x=4p\tan \theta$$ である。$0<x<4p\tan \theta$ では直線のほうが上側にあるので、面積 $S$ は$$S={\int }_0^{4p\tan \theta }(x\tan \theta -{\displaystyle \frac{x^2}{4p}})dx$$である。計算すると$$S={[{\displaystyle \frac{\tan \theta }{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{12p}}{x}^3]}_0^{4p\tan \theta }$$であり、$$S=8p^2{\tan }^3\theta -{\displaystyle \frac{16}{3}}{p}^2{\tan }^3\theta ={\displaystyle \frac{8}{3}}{p}^2{\tan }^3\theta$$となる。

(3) $p={\cos }^2\theta$ を代入すると$$S={\displaystyle \frac{8}{3}}{\cos }^4\theta \cdot {\displaystyle \frac{{\sin }^3\theta }{{\cos }^3\theta }}={\displaystyle \frac{8}{3}}{\sin }^3\theta \cos \theta$$である。ここで $$g(\theta )={\sin }^3\theta \cos \theta$$ とおく。$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ で$$g^{\mathrm{\prime }}(\theta )=3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta -{\sin }^4\theta ={\sin }^2\theta (3{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$$である。したがって最大は $$3{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$$ のとき、すなわち $${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{3}{4}},{\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ のときに起こる。この範囲では $\sin \theta >0$、$\cos \theta >0$ だから $$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって$$S_{\max }={\displaystyle \frac{8}{3}}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^3{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$である。

回転後の放物線を焦点と準線から求める。面積は $y$ について横向きに積分する。最大値は $u={\sin }^2\theta$ と置き、微分を使わず重み付きの相加相乗平均で評価する。

(1)
図形全体を原点のまわりに $\theta$ だけ回転すると、焦点 $A$ は $(0,p)$、準線 $l$ は $y=-p$ へ移る。したがって距離の等しい点 $(x,y)$ は$$x^2+(y-p{)}^2=(y+p{)}^2$$を満たし、回転後の方程式は$$x^2=4py$$である。

(2)
回転後、もとの $x$ 軸は $y=x\tan \theta$ となる。$t=\tan \theta$ と置くと、直線と放物線の交点の $y$ 座標は $0,4p{t}^2$ である。高さ $y$ において、右側の放物線は $$x=2\sqrt{py}$$、直線は $x=y\mathrm{/}t$ である。よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{4p{t}^2}(2\sqrt{py}-{\displaystyle \frac{y}{t}})dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{4\sqrt{p}}{3}}{y}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{y^2}{2t}}]}_0^{4p{t}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}{p}^2{t}^3={\displaystyle \frac{8}{3}}{p}^2{\tan }^3\theta \mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$p={\cos }^2\theta$ を代入し、$u={\sin }^2\theta$ と置くと$$S={\displaystyle \frac{8}{3}}{\sin }^3\theta \cos \theta ,S^2={\displaystyle \frac{64}{9}}{u}^3(1-u)\mathrm{.}$$正の4数 $u,u,u,3(1-u)$ に相加相乗平均を用いると$$\sqrt[4]{3u^3(1-u)}\leqq {\displaystyle \frac{u+u+u+3(1-u)}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$したがって $u^3(1-u)\leqq 27\mathrm{/}256$ であり、等号は$$u=3(1-u),u={\displaystyle \frac{3}{4}}$$のときに成り立つ。よって$$S_{\max }^{}={\displaystyle \frac{3}{4}},S_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$