大阪大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問

以下の文中の（ア）～（ク）に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(1) 正の整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ がこの順に等比数列をなし，
公比 $r$ が整数でなく，かつ $r > 1$ であるとき，
$a_{4}$ のとりうる値の最小値は（ア）であり，このとき， $a_{1} =$ （イ）となる．

(2) 公比 $r$ が1より大きい無限等比数列 ${a_{n}}$ において，
第17項 $a_{17}$ の平方が第24項 $a_{24}$ に等しいとき，
$a_{1} r^{9} =$ （ウ）であり，また， $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} < \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ となる
最小の自然数 $n$ の値は（エ）である．

(3) $f (x) = \sum_{k = 1}^{10} k ∣ x - k ∣$ とする．
このとき， $x < 1$ では $f^{'} (x) =$ （オ）， $x > 10$ では $f^{'} (x) =$ （カ）であり，
$1 ≦ n ≦ 9$ を満たす整数 $n$ に対し， $n < x < n + 1$ においては $f^{'} (x) =$ （キ）となる．
また， $f (x)$ は $x =$ （ク）において最小値をとる．

難易度7/ 10計算量7/ 10目安25分

数列、整数、微分　素因数分解、和の計算、場合分け、微分による最大最小

方針

(1) は公比を既約分数 $p / q$ として整数条件を素因数で追う。(2)は指数をそろえ、二つの有限和の指数列を比較する。(3)は絶対値の折れ目ごとに導関数を求め、符号が負から正へ変わる整数を探す。

解答

(1)

$r = p / q$ （ $p > q ≧ 2, (p, q) = 1$ ）とおく。四項が整数になるには $q^{3} ∣ a_{1}$ が必要であるから、 $a_{1} = M q^{3}$ と書ける。このとき $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (M q^{3}, M p q^{2}, M p^{2} q, M p^{3}) .$ $a_{4} = M p^{3}$ を最小にするには $M = 1$ 、最小の互いに素な $p > q ≧ 2$ である $p = 3, q = 2$ を選べばよい。したがって $（ア） 27, （イ） 8.$ (2)

$a_{17}^{2} = a_{24}$ より $(a_{1} r^{16})^{2} = a_{1} r^{23},$ したがって $（ウ） a_{1} r^{9} = 1.$ よって $a_{k} = r^{k - 10}$ である。 $n = 19$ のとき、 $\sum 1 / a_{k}$ と $\sum a_{k}$ に現れる指数はともに $- 9, - 8, \dots, 9$ で等しい。 $n = 20$ では右辺に $r^{10}$ 、左辺に $r^{- 10}$ が加わり、 $r > 1$ より初めて右辺が大きくなる。したがって $（エ） 20.$ (3)

$x < 1$ ではすべての $x - k$ が負なので $（オ） f^{'} (x) = - \sum_{k = 1}^{10} k = - 55.$ $x > 10$ では $（カ） f^{'} (x) = 55.$ $n < x < n + 1$ では $f^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{n} k - \sum_{k = n + 1}^{10} k = n (n + 1) - 55,$ ゆえに $（キ） n (n + 1) - 55.$ $n = 6$ では導関数は $- 13$ 、 $n = 7$ では1となるので、 $x = 7$ で減少から増加へ変わる。したがって $（ク） 7.$

総評

目安は25分。空欄形式でも根拠を整理すると誤算を防げる。(1)では「公比が整数でない」から $q ≧ 2$ を落とさない。(2)は $n = 19$ で等号、 $n = 20$ で初めて逆転する。(3)では $\sum_{k = 1}^{10} k = 55$ と、区間をまたぐと導関数が $2 k$ だけ増えることを確認する。

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出典: 大阪大学 1990年度後期理系第4問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

大阪大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問