大阪大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) $CA=AB=2$ である。$C$ から $A$ への単位方向ベクトルは $(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ だから$$E=C+t(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(1-\frac{t}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}t)\mathrm{.}$$また $A$ から $B$ への単位方向ベクトルは $(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ だから$$F=A+t(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=(-\frac{t}{2},\sqrt{3}(1-\frac{t}{2}))\mathrm{.}$$(2) $D=(-1+t,0)$ である。$\overrightarrow{DE}$ と $\overrightarrow{DF}$ の成分を用いて三角形の面積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [DEF]}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid (2-\frac{3t}{2})\sqrt{3}(1-\frac{t}{2})-\frac{\sqrt{3}t}{2}(1-\frac{3t}{2})\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{4}(3t^2-6t+4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{4}\{3(t-1{)}^2+1\}\mathrm{.}}\end{array}$$$0\le t\le 2$ であるから、この面積は $t=1$ のとき最小になる。そのとき$$D=(-1+1,0)=(0,0)\mathrm{.}$$したがって求める点は $D(0,0)$ である。

3辺の方向ベクトルのなす角が120度であることを使い、$DEF$ が正三角形であることとその一辺の長さを求める。

(1)
辺の長さは2である。辺 $CA,AB$ の単位方向を使えば$$E=(1-\frac{t}{2},\frac{\sqrt{3}t}{2}),F=(-\frac{t}{2},\sqrt{3}(1-\frac{t}{2}))\mathrm{.}$$(2)
$\mathit{u},\mathit{v}$ をそれぞれ $BC,CA$ 方向の単位ベクトルとすると$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=\cos {120}^{\circ }=-1\mathrm{/}2$$ である。$$\overrightarrow{DE}=2\mathit{u}+t(\mathit{v}-\mathit{u})=(2-t)\mathit{u}+t\mathit{v}$$だから$$D{E}^2=(2-t{)}^2+t^2-t(2-t)=3t^2-6t+4.$$120度回転で $D,E,F$ が巡回するため $\mathrm{△}DEF$ は正三角形である。よって$$[DEF]=\frac{\sqrt{3}}{4}D{E}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\{3(t-1{)}^2+1\}\mathrm{.}$$$0\leqq t\leqq 2$ なので最小は $t=1$。このとき $D=(-1+t,0)=(0,0)$ である。