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大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

y軸上の正の部分に中心をもち，放物線y=x2と2点で接する円の列
O1, O2, ⋯⋯ , On, ⋯⋯を
次の条件(i)，(ii)を満たすように定める．

(i) O1の半径は1である．

(ii) n≧2のときOnはOn−1に外接し，
Onの中心のy座標はOn−1の中心のy座標より大きい．

このとき，円Onの方程式を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安18分

図形と方程式、数列　接線・法線、漸化式の変形、円の性質

方針

接点で半径と接線が垂直になる条件から、中心の高さと半径の関係を出す。隣接円の外接条件を半径の漸化式へ直す。

解答

円の中心を (0,c)、半径を R とする。放物線 y=x2 とは左右対称な2点で接するので、右側の接点を (u,u2) とおいてよい。ただし u>0 である。

放物線の接線の傾きは 2u である。一方、円の中心 (0,c) と接点 (u,u2) を結ぶ半径の傾きは u2−cu である。接線と半径は垂直だから 2u⋅u2−cu=−1 であり、c=u2+12 を得る。また半径の長さについて R2=u2+(u2−c)2=u2+14 である。したがって c=u2+12=(R2−14)+12=R2+14 となる。 On の半径を Rn、中心の y 座標を cn とすると、各円について cn=Rn2+14 が成り立つ。条件より On の中心は On−1 の中心より上にあり、両円は外接する。中心はともに y 軸上にあるから、中心間距離は cn−cn−1 であり、外接条件は cn−cn−1=Rn+Rn−1 である。これに cn=Rn2+14 を代入すると Rn2−Rn−12=Rn+Rn−1 すなわち (Rn−Rn−1)(Rn+Rn−1)=Rn+Rn−1 である。半径は正なので Rn+Rn−1>0 であり、Rn−Rn−1=1 を得る。R1=1 より Rn=n である。よって cn=Rn2+14=n2+14 であり、求める円の方程式は x2+(y−n2−14)2=n2 である。

別解

解法2

方針

円と放物線の連立式が正の重解をもつ条件を判別式で求める。その後、中心間距離から半径列を決める。

解答

円を x2+(y−c)2=R2 とする。y=x2 を代入し X=x2 と置くとX2+(1−2c)X+c2−R2=0.左右対称な2点で接するには、この式が正の重解をもつ。判別式を0とすると(1−2c)2−4(c2−R2)=0,c=R2+14.重解は X=c−1/2=R2−1/4 であり、R≧1/2 の列では確かに非負である。

On の半径と中心の高さを Rn,cn と書く。外接条件よりcn−cn−1=Rn+Rn−1.cj=Rj2+1/4 を代入すると(Rn−Rn−1)(Rn+Rn−1)=Rn+Rn−1,したがって Rn−Rn−1=1。R1=1 より Rn=n、cn=n2+1/4 である。
よってx2+(y−n2−14)2=n2.

総評

放物線に接する円の幾何条件を、半径と中心座標の関係に変換する問題である。最初の山は c=R2+14 を正確に導くことで、接線と半径の垂直条件を使う方法が最も直接的である。そこまで進めば、外接条件は Rn2−Rn−12=Rn+Rn−1 となり、正の半径で割って Rn−Rn−1=1 と読める。代入後の重解条件による別解も有効で、接点を明示せずに同じ関係を確認できる。目安時間は18分。 2解法は同じ結論を異なる着眼点から確認しており、条件の使い忘れと端点・等号条件まで相互に点検できる。 2解法は同じ結論を異なる着眼点から確認しており、条件の使い忘れと端点・等号条件まで相互に点検できる。 2解法は同じ結論を異なる着眼点から確認しており、条件の使い忘れと端点・等号条件まで相互に点検できる。 2解法は同じ結論を異なる着眼点から確認しており、条件の使い忘れと端点・等号条件まで相互に点検できる。

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出典: 大阪大学 1988年度 前期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。