大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1{)}^2$$ とおく。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点は $(t,f(t))$、接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。接線が点 $(1,0)$ を通るための条件は $0=f^{\mathrm{\prime }}(t)(1-t)+f(t)$ である。

ここで $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x(x^2-1)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =4t(t^2-1)(1-t)+(t^2-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2-1)\{4t(1-t)+t^2-1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(t-1{)}^2(t+1)(3t-1)}\end{array}$$となる。したがって $$t=1,t=-1,t=\frac{1}{3}$$ である。 $t=1$ のときも $t=-1$ のときも、接点はそれぞれ $(1,0)$、$(-1,0)$ で傾きは $0$ であるから、接線はいずれも $y=0$ である。 $t=\frac{1}{3}$ のときは$$f\left(\frac{1}{3}\right)={(\frac{1}{9}-1)}^2=\frac{64}{81},f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{3}\right)=4\cdot \frac{1}{3}(\frac{1}{9}-1)=-\frac{32}{27}$$である。よって接線は $$y-\frac{64}{81}=-\frac{32}{27}(x-\frac{1}{3})$$ であり、整理して $$y=-\frac{32}{27}x+\frac{32}{27}$$ となる。

したがって求める直線は $$y=0,y=-\frac{32}{27}x+\frac{32}{27}$$ である。

別解。点 $(1,0)$ を通る直線を $y=m(x-1)$ とおく。曲線との交点は $(x^2-1{)}^2=m(x-1)$ で決まる。左辺を整理すると $$(x-1)\{(x-1)(x+1{)}^2-m\}=0$$ である。$m=0$ なら直線は $y=0$ で、これは曲線に接する。 $m\mathrm{\ne }0$ のときは $x=1$ での交わりは単なる通過なので、他の点で接するには $H(x)=(x-1)(x+1{)}^2-m$ が重解をもてばよい。そこで $H^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)(3x-1)$ より候補は $x=-1,\frac{1}{3}$ である。$x=-1$ は $m=0$ に戻る。$x=\frac{1}{3}$ では $$m=(\frac{1}{3}-1){(\frac{1}{3}+1)}^2=-\frac{32}{27}$$ である。したがって直線は $$y=-\frac{32}{27}(x-1)$$ となり、本解と同じ2本を得る。