阪大 1990年度文系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

$P = (a, b) = (\cos α, \sin α)$ 、 $Q = (c, d) = (\cos β, \sin β)$ とおき、与えられた変換を行列で表す。 $f$ はベクトルから $P$ 方向成分の2倍を引く変換で、行列は三角関数の2倍角で簡単に書ける。 $g$ についても同様に行列化し、積 $G F$ を計算して標準的な回転行列 $R_{2 (β - α)}$ と一致することを示す。幾何的には、2つの直線対称移動の合成が回転になることも確認できる。

解答

$1, 0$ を原点のまわりに角 $α$ 、 $β$ だけ回転した点がそれぞれ $P, Q$ なので $P = (a, b) = (\cos α, \sin α), Q = (c, d) = (\cos β, \sin β)$ である。

まず $f$ の行列を求める。与えられた式は $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) - 2 (a x + b y) (\begin{array}{c} a \\ b \end{array})$ であるから $F = (\begin{array}{cc} 1 - 2 a^{2} & - 2 a b \\ - 2 a b & 1 - 2 b^{2} \end{array})$ である。ここに $a = \cos α$ 、 $b = \sin α$ を代入すると $F = (\begin{array}{cc} - \cos 2 α & - \sin 2 α \\ - \sin 2 α & \cos 2 α \end{array})$ となる。

同様に、 $g$ の行列は $G = (\begin{array}{cc} 1 - 2 c^{2} & - 2 c d \\ - 2 c d & 1 - 2 d^{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \cos 2 β & - \sin 2 β \\ - \sin 2 β & \cos 2 β \end{array})$ である。

したがって合成変換 $g \circ f$ の行列は $G F$ であり、実際に掛けると $G F = (\begin{array}{cc} \cos (2 β - 2 α) & - \sin (2 β - 2 α) \\ \sin (2 β - 2 α) & \cos (2 β - 2 α) \end{array})$ である。これは原点のまわりに角 $2 β - 2 α = 2 (β - α)$ だけ回転する行列である。よって $g \circ f$ は原点のまわりの角 $2 (β - α)$ の回転である。

別解。ベクトル $\vec{X} = (x, y)$ に対して、 $f$ は $\vec{X} \mapsto \vec{X} - 2 (\vec{X} \cdot P) P$ である。これは、原点を通り $O P$ に垂直な直線に関する対称移動である。同様に $g$ は、原点を通り $O Q$ に垂直な直線に関する対称移動である。これら2本の対称軸のなす角は $β - α$ であるから、2回の対称移動の合成は原点のまわりの角 $2 (β - α)$ の回転になる。

総評

難度5、計算量4。与えられた式を行列として読み、2倍角の公式で回転行列にまとめる問題である。想定時間は15分程度。 $f$ 、 $g$ はどちらも「ある方向成分を反転する」対称移動なので、行列計算だけでなく幾何的にも意味を確認できる。計算では合成の順序が $g \circ f$ 、つまり行列では $G F$ になる点を取り違えないことが重要である。

出典: 大阪大学 1990年度前期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

方針

解答

総評

大阪大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系数学第4問