大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$S_n=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}$$ とおく。次の少し強い不等式を数学的帰納法で示す。 $$S_n\leqq \frac{1}{4}-\frac{1}{2n^2}(n\geqq 2)$$ $n=2$ のとき $$S_2=\frac{1}{8}$$ であり、また $$\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot 2^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$$ だから成り立つ。

次に $n$ で成り立つと仮定する。このとき $$S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(n+1{)}^3}$$ であるから、帰納法の仮定より $$S_{n+1}\leqq \frac{1}{4}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^3}$$ である。ここで $$\frac{1}{(n+1{)}^3}\leqq \frac{1}{2n^2}-\frac{1}{2(n+1{)}^2}$$ を示せばよい。両辺は正なので分母を払うと、これは $2n^2\leqq (2n+1)(n+1)$ と同値である。右辺は $(2n+1)(n+1)=2n^2+3n+1$ なので、確かに成り立つ。

したがって $$S_{n+1}\leqq \frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1{)}^2}$$ であり、帰納法によりすべての $n\geqq 2$ で $$S_n\leqq \frac{1}{4}-\frac{1}{2n^2}<\frac{1}{4}$$ が成り立つ。よって $${\displaystyle \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}<\frac{1}{4}}$$ である。

別解。積分で上から評価してもよい。$k\geqq 3$ とし、$k-1\leqq x\leqq k$ では $x\leqq k$ だから $$\frac{1}{x^3}\geqq \frac{1}{k^3}$$ である。したがって $$\frac{1}{k^3}<{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x^3}$$ が成り立つ。よって $n\geqq 3$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\frac{1}{8}+\sum _{k=3}^n\frac{1}{k^3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <\frac{1}{8}+{\int }_2^n\frac{dx}{x^3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{8}+{[-\frac{1}{2x^2}]}_2^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2n^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <\frac{1}{4}}\end{array}$$である。$n=2$ のときは $$S_2=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$$ なので、すべての $n\geqq 2$ で示された。