大阪大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 制約がなければ$$x={\displaystyle \frac{a}{2p}},y={\displaystyle \frac{b}{2q}}$$で最大となる。これが $x\geqq y$ を満たす条件は$$aq\geqq bp\mathrm{.}$$このとき最大値と最大点は$${\displaystyle \frac{a^2}{4p}}+{\displaystyle \frac{b^2}{4q}},(x,y)=({\displaystyle \frac{a}{2p}},{\displaystyle \frac{b}{2q}})\mathrm{.}$$一方 $aq<bp$ のとき、最大点は境界 $x=y=t$ 上にある。そこで$$-(p+q)t^2+(a+b)t$$を最大化すると$$t={\displaystyle \frac{a+b}{2(p+q)}}$$であり、最大値は$${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{4(p+q)}}\mathrm{.}$$従ってこの場合の最大点は$$(x,y)=({\displaystyle \frac{a+b}{2(p+q)}},{\displaystyle \frac{a+b}{2(p+q)}})\mathrm{.}$$(2) 平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -x^2-y^2-z^2+ax+by+cz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{4}}-{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2-{(y-{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2-{(z-{\displaystyle \frac{c}{2}})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$従って $(a\mathrm{/}2,b\mathrm{/}2,c\mathrm{/}2)$ に最も近い $x\geqq y\geqq z$ の点を求めればよい。結果は次の4場合である。$$\begin{array}{cc}\text{条件}& \text{最大値}\\ a\geqq b\geqq c& {\displaystyle {\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{4}}}\\ a<b,a+b\geqq 2c& {\displaystyle {\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{8}}+{\displaystyle \frac{c^2}{4}}}\\ b<c,2a\geqq b+c& {\displaystyle {\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(b+c{)}^2}{8}}}\\ \text{上記以外}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{12}}}\end{array}$$実際、第2の場合は $x=y=(a+b)\mathrm{/}4,z=c\mathrm{/}2$、第3の場合は $x=a\mathrm{/}2,y=z=(b+c)\mathrm{/}4$、最後の場合は$$x=y=z={\displaystyle \frac{a+b+c}{6}}$$で最大となる。各条件は、このように平均してまとめた値が隣の値との順序を保つ条件に一致する。境界では隣接する二つの式は同じ値を与える。

平方完成した二次式の最大点は、制約領域 $x\geqq y\geqq z$ の内部、2つの境界面 $x=y$, $y=z$、または境界直線 $x=y=z$ のいずれかにある。それぞれで平方完成し、得られた最大点がその面にとどまる条件を調べて4場合を得る。

(1)
平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -p{x}^2-q{y}^2+ax+by}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{4p}}+{\displaystyle \frac{b^2}{4q}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -p{(x-{\displaystyle \frac{a}{2p}})}^2-q{(y-{\displaystyle \frac{b}{2q}})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$頂点が $x\geqq y$ を満たす条件は $aq\geqq bp$ である。このとき最大値は$${\displaystyle \frac{a^2}{4p}}+{\displaystyle \frac{b^2}{4q}},(x,y)=({\displaystyle \frac{a}{2p}},{\displaystyle \frac{b}{2q}})\mathrm{.}$$$aq<bp$ のときは境界 $x=y=t$ 上で最大となり、$$-(p+q)t^2+(a+b)t$$を平方完成して$$\text{最大値}={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{4(p+q)}},x=y={\displaystyle \frac{a+b}{2(p+q)}}$$を得る。

(2)
制約領域の内部では$$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{2}},{\displaystyle \frac{c}{2}})$$が候補で、条件は $a\geqq b\geqq c$、最大値は$${\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{4}}$$である。

境界面 $x=y=t$ では$$-2t^2+(a+b)t-z^2+cz$$を最大化するので$$t={\displaystyle \frac{a+b}{4}},z={\displaystyle \frac{c}{2}}\mathrm{.}$$これは $t\geqq z$ すなわち $a+b\geqq 2c$ のとき面上にあり、内部の順序違反が $a<b$ の場合に採用される。最大値は$${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{8}}+{\displaystyle \frac{c^2}{4}}\mathrm{.}$$同様に境界面 $y=z=t$ から$$x={\displaystyle \frac{a}{2}},t={\displaystyle \frac{b+c}{4}}$$を得る。条件は $b<c,2a\geqq b+c$ で、最大値は$${\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(b+c{)}^2}{8}}\mathrm{.}$$以上のいずれの点も順序条件を満たさない場合、最大点は $x=y=z=t$ 上にある。$$-3t^2+(a+b+c)t$$を最大化して$$t={\displaystyle \frac{a+b+c}{6}},\text{最大値}={\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{12}}\mathrm{.}$$従って求める最大値は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{4}}& (a\geqq b\geqq c),\\ {\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{8}}+{\displaystyle \frac{c^2}{4}}& (a<b,a+b\geqq 2c),\\ {\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(b+c{)}^2}{8}}& (b<c,2a\geqq b+c),\\ {\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{12}}& (\text{上記以外})\end{array}$$である。境界条件が等号のとき、隣り合う式は同じ値を与える。