大阪大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$u=x(1-x)$ とおくと $0<u\leqq 1\mathrm{/}4$ であり、$$f(x)=h(u)=\log u-au+b$$と書ける。また $0<u<1\mathrm{/}4$ の各 $u$ には、区間 $0<x<1$ の異なる2つの $x$ が対応する。

(1) $h^{\mathrm{\prime }}(u)=1\mathrm{/}u-a$ である。$0<a\leqq 4$ のときは $0<u\leqq 1\mathrm{/}4$ で $h^{\mathrm{\prime }}(u)\geqq 0$ だから、最大値は$$h(1\mathrm{/}4)=b-\log 4-{\displaystyle \frac{a}{4}}$$である。$a>4$ のときは $u=1\mathrm{/}a$ で最大となり、その値は$$h(1\mathrm{/}a)=b-\log a-1$$である。

(2) $f(x)=0$ が相異なる4解をもつためには、$h(u)=0$ が $0<u<1\mathrm{/}4$ に相異なる2根をもつことが必要十分である。$$h(u)\to -\mathrm{\infty }(u\to 0+)$$ であり、$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(u)=-1\mathrm{/}{u}^2<0$ だから、これは最大点が区間内部にあり、最大値が正、右端の値が負であることと同値である。

したがって$$a>4,b-\log a-1>0,b-\log 4-{\displaystyle \frac{a}{4}}<0$$すなわち$$a>4,1+\log a<b<{\displaystyle \frac{a}{4}}+\log 4$$である。$a>4$ では下側の境界が上側より小さい。よって図示する領域は、直線 $a=4$ の右側で、曲線 $b=1+\log a$ の上、直線 $b=a\mathrm{/}4+\log 4$ の下の開領域であり、境界はいずれも含まない。

置換を先にせず $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を因数分解する。$x=1\mathrm{/}2$ と $x(1-x)=1\mathrm{/}a$ で区切った増減表から、最大値と四つの零点をもつための山の高さ・中央の谷の高さを直接読み取る。

まず$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-2x)\{{\displaystyle \frac{1}{x(1-x)}}-a\}$$と因数分解できる。

(1)
$0<a\leqq 4$ のときは $x(1-x)\leqq 1\mathrm{/}4$ より、$f$ は $x=1\mathrm{/}2$ まで増加し、その後減少する。よって最大値は$$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=b-\log 4-{\displaystyle \frac{a}{4}}\mathrm{.}$$$a>4$ のとき、$x(1-x)=1\mathrm{/}a$ は $1\mathrm{/}2$ の両側に二つの解をもつ。増減を調べると、その二点が同じ高さの極大点であり、最大値は$$\log {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{a}}+b=b-\log a-1.$$(2)
$a>4$ の場合、グラフは左右対称で、両側の極大値は $b-\log a-1$、中央 $x=1\mathrm{/}2$ の極小値は $b-\log 4-a\mathrm{/}4$ である。また両端では $f(x)\to -\mathrm{\infty }$ となる。

相異なる4個の零点をもつための必要十分条件は、二つの山が $x$ 軸より上、中央の谷が $x$ 軸より下にあることである。したがって$$a>4,b-\log a-1>0,b-\log 4-{\displaystyle \frac{a}{4}}<0.$$すなわち$$a>4,1+\log a<b<{\displaystyle \frac{a}{4}}+\log 4.$$$ab$ 平面では $a=4$ の右側で、曲線 $b=1+\log a$ の上、直線 $b=a\mathrm{/}4+\log 4$ の下にある開領域であり、境界は含まない。