大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

直線 $l$ 上の点を $L=(s,0,0)$ とおく。また直線 $m$ は $(1,1,0)$ と $(0,0,1)$ を通るので、その上の点は $M=(1-r,1-r,r)$ と表せる。

求める直線 $n$ が存在するなら、$P$ はある $L$ と $M$ を結ぶ直線上にある。したがって、ある実数 $\lambda$ について $P=L+\lambda (M-L)$ と書ける。$P=(1-t,-t,1-t)$ を代入して成分を比較すると$$\{\begin{array}{l}1-t=s+\lambda (1-r-s),\\ -t=\lambda (1-r),\\ 1-t=\lambda r\end{array}$$である。

第2式と第3式を足すと $$1-2t=\lambda \{(1-r)+r\}=\lambda$$ だから $\lambda =1-2t$ である。もし $$t=\frac{1}{2}$$ なら $\lambda =0$ となるが、第3式は $$\frac{1}{2}=0$$ となって矛盾する。したがって $$t\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$$ である。 $$t\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$$ のとき、第3式から $$r=\frac{1-t}{1-2t}=\frac{t-1}{2t-1}$$ である。また $$1-r=1-\frac{1-t}{1-2t}=\frac{-t}{1-2t}$$ である。これを第1式に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1-t}& {\displaystyle =s+(1-2t)(\frac{-t}{1-2t}-s)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s-t-(1-2t)s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-t+2ts}\end{array}$$となる。よって $1=2ts$ であり、ここから $$t\mathrm{\ne }0,s=\frac{1}{2t}$$ を得る。逆に $t=0$ とすると第1式は $1=0$ となり矛盾するので、確かに除かなければならない。

したがって存在条件は $${\displaystyle t\mathrm{\ne }0,t\mathrm{\ne }\frac{1}{2}}$$ である。

この条件のもとで$$L=(\frac{1}{2t},0,0),M=(\frac{t}{2t-1},\frac{t}{2t-1},\frac{t-1}{2t-1})$$である。方向ベクトルは $M-L$ の定数倍として $(2t^2-2t+1,2t^2,2t(t-1))$ を取れる。よって求める直線 $n$ は、実数 $u$ を用いて$${\displaystyle (x,y,z)=(\frac{1}{2t},0,0)+u(2t^2-2t+1,2t^2,2t(t-1))}$$である。